Question

6．设关于x的一元二次方程3（m-2）x²-2（m+1）x-m=0有正整数根，试求出所有满足条件的整数m的值．

Answer 1

分析 利用因式分解法解方程易得x₁=-$\frac{1}{3}$，x₂=$\frac{m}{m-2}$；则x=$\frac{m}{m-2}$为正整数，先变形为1+$\frac{2}{m-2}$，然后利用整数的整除性可确定m的值即可．

解答 解：3（m-2）x²-2（m+1）x-m=0
（3x+1）[（m-2）x-m]=0
解得x₁=-$\frac{1}{3}$，x₂=$\frac{m}{m-2}$；
∵关于x的一元二次方程3（m-2）x²-2（m+1）x-m=0有正整数根，
∴x=$\frac{m}{m-2}$=1+$\frac{2}{m-2}$为正整数，
∴m-2=1或2时，x=$\frac{m}{m-2}$为正整数，则m=3或4．
即所有满足条件的整数m的值为3或4．

点评 本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．