【题目】如图所示,抛物线与轴交于两点,与轴交于点,点的坐标为,点的坐标为,抛物线的对称轴是直线.
(1)求抛物线对应的函数表达式;
(2)是线段上的任意一点,当为等腰三角形时,求点的坐标.
【答案】(1)y= (x+)2+;(2)(0,0)或(-3,0)
【解析】
(1)根据抛物线的对称轴得到抛物线的顶点式,然后代入已知的两点理由待定系数法求解即可;
(2)首先求得点B的坐标,然后分BC=CM时,CM=BM时和BC=BM时,三种情况根据等腰三角形的性质求得点M的坐标即可.
解:(1)依题意,设抛物线的解析式为y=a(x+)2+k, 由A(2,0),C(0,3)得
,
解得:,
∴抛物线的解析式为:y= (x+)2+;
(2)当y=0时,有 (x+)2+=0.
解得:x1=2,x2=-3;
∴B(-3,0) ,
∵△MBC为等腰三角形,则
①当BC=CM时,M在线段BA的延长线上,不符合题意,即此时点M不存在;
②当CM=BM时,
∵M在线段AB上,
∴M点在原点O上,即M点坐标为(0,0);
③当BC=BM时,在Rt△BOC中,BO=CO=3,
由勾股定理得BC=,
∴BM=.
∴M点坐标为(,0).
综上所述,M点的坐标为(0,0)或(,0).
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【题目】为落实“垃圾分类”,环卫部门要求垃圾要按A,B,C三类分别装袋,投放,其中A类指废电池,过期药品等有毒垃圾,B类指剩余食品等厨余垃圾,C类指塑料,废纸等可回收垃圾.甲投放了一袋垃圾,乙投放了两袋垃圾,这两袋垃圾不同类.
(1)直接写出甲投放的垃圾恰好是A类的概率;
(2)求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率.
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【题目】请完成下面的几何探究过程:
(1)观察填空
如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=4,点D为斜边AB上一动点(不与点A,B重合),把线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE,连DE,BE,则
①∠CBE的度数为____________;
②当BE=____________时,四边形CDBE为正方形.
(2)探究证明
如图2,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2AC=4,点D为斜边AB上一动点(不与点A,B重合),把线段CD绕点C顺时针旋转90°后并延长为原来的两倍得到线段CE,连DE,BE则:
①在点D的运动过程中,请判断∠CBE与∠A的大小关系,并证明;
②当CD⊥AB时,求证:四边形CDBE为矩形
(3)拓展延伸
如图2,在点D的运动过程中,若△BCD恰好为等腰三角形,请直接写出此时AD的长.
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【题目】已知抛物线与x轴分别交于,两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标;
(2)点F是线段AD上一个动点.
①如图1,设,当k为何值时,.
②如图2,以A,F,O为顶点的三角形是否与相似?若相似,求出点F的坐标;若不相似,请说明理由.
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【题目】已知二次函数和一次函数.
(1)当t=0时,试判断二次函数的图象与x轴是否有公共点,如果有,请写出公共点的坐标;
(2)若二次函数的图象与x轴的两个不同公共点,且这两个公共点间的距离为8,求t的值;
(3)求证:不论实数t取何值,总存在实数x,使≥.
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【题目】如图,将边长为1的正方形纸片ABCD折叠,使点B的对应点M落在边CD上(不与点C、D重合),折痕为EF,AB的对应线段MG交AD于点N.以下结论正确的有( )①∠MBN=45°;②△MDN的周长是定值;③△MDN的面积是定值.
A.①②B.①③C.②③D.①②③
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【题目】如图,抛物线与直线相交于,两点,且抛物线经过点
(1)求抛物线的解析式.
(2)点是抛物线上的一个动点(不与点点重合),过点作直线轴于点,交直线于点.当时,求点坐标;
(3)如图所示,设抛物线与轴交于点,在抛物线的第一象限内,是否存在一点,使得四边形的面积最大?若存在,请求出点的坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】廊桥是我国古老的文化遗产.如图,是某座抛物线型的廊桥示意图,已知抛物线的函数表达式为,为保护廊桥的安全,在该抛物线上距水面高为8米的点、处要安装两盏警示灯,则这两盏灯的水平距离是____米.
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