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【题目】在△ABC中,AB=AC=5,cos∠ABC=,将△ABC绕点C顺时针旋转,得到△A1B1C.

(1)如图①,当点B1在线段BA延长线上时.①求证:BB1∥CA1;②求△AB1C的面积;

(2)如图②,点E是BC边的中点,点F为线段AB上的动点,在△ABC绕点C顺时针旋转过程中,点F的对应点是F1,求线段EF1长度的最大值与最小值的差.

【答案】(1)见解析;(2)

【解析】

试题分析:(1)①证明:∵AB=AC,B1C=BC,∴∠AB1C=∠B,∠B=∠ACB,∵∠AB1C=∠ACB(旋转角相等),∴∠B1CA1=∠AB1C,∴BB1∥CA1

②过A作AF⊥BC于F,过C作CE⊥AB于E,如图①:

∵AB=AC,AF⊥BC,∴BF=CF,∵cos∠ABC=,AB=5,∴BF=3,∴BC=6,∴B1C=BC=6,∵CE⊥AB,∴BE=B1E=,∴BB1=,CE=,∴AB1=,∴△AB1C的面积为:

(2)如图2,过C作CF⊥AB于F,以C为圆心CF为半径画圆交BC于F1,EF1有最小值,

此时在Rt△BFC中,CF=,∴CF1=,∴EF1的最小值为;如图,以C为圆心BC为半径画圆交BC的延长线于F1,EF1有最大值;此时EF1=EC+CF1=3+6=9,∴线段EF1的最大值与最小值的差为

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(1)求这条抛物线所对应的函数表达式.

(2)当线段PQ被x轴平分时,求m的值.

(3)当等腰直角三角形PQM夹在x轴与直线AB之间的图形为轴对称三角形时,求m的取值范围.

(4)直接写出当等腰直角三角形PQM的两条直角边与坐标轴有两个公共点时m的取值范围.

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类别

成绩

频数

60≤m<70

5

70≤m<80

a

80≤m<90

10

90≤m≤100

5

根据图表信息,回答下列问题:

(1)该班共有学生________人;表中a=________

(2)将丁类的五名学生分别记为A、B、C、D、E,现从中随机挑选两名学生参加学校的决赛,请借助树状图、列表或其他方式求B一定能参加决赛的概率.

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A.﹣6<a<﹣3
B.﹣5<a<﹣2
C.﹣2<a<5
D.a<﹣5或a>2

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