Question

18．若菱形的对角线AC和BD分别长10和24，则菱形的面积为120；点E和点F分别是边AB和BC的中点，点P在AC上运动，则P点位于AC上的中点时PE+PF的值最小，这个最小值是13．

Answer 1

分析 根据菱形的面积公式即可得到菱形的面积，取CD中点M，连接EM与AC交于点P，PE+PF的最小值=PE+PM=EM，由此即可解决问题．

解答 解：∴S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$×10×24=120；
如图1，取CD中点M，连接EM与AC交于点P，
则此时P点位于AC上的中点时，PE+PF的值最小，这个最小值是ME的长度；
∵四边形ABCD是菱形，AC=10，DB=24，
∴AC⊥BD，AD=AB=$\sqrt{{5}^{2}+1{2}^{2}}$=13，
∵DM=MC，CF=FB，CD、CB关于AC对称，
∴M、F关于AC对称，
∴PE+PF=PE+PM=EM最小，
∵AE=EB．DM=MC，
∴AE=DM．AE∥DM，
∴四边形ADME是平行四边形，
∴ME=AD=13．
故答案为：13，中，120．

点评 本题考查轴对称-最短问题、勾股定理、垂线段最短、两点之间线段最短等知识，解题的关键是利用对称找到点P的位置，属于中考常考题型．