Question

如图，E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点．
（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；
（2）当AC、BD满足

 

时，四边形EFGH为菱形．当AC、BD满足

 

时，四边形EFGH为矩形．当AC、BD满足

 

时，四边形EFGH为正方形．

Answer 1

考点：三角形中位线定理,平行四边形的判定,菱形的判定,矩形的判定,正方形的判定

专题：

分析：（1）连接BD，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EH∥BD且EH=

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BD，FG∥BD且FG=

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BD，从而得到EH∥FG且EH=FG，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
（2）连接AC，同理可得EF∥AC且EF=

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AC，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，邻边垂直的平行四边形是矩形，邻边相等且垂直的平行四边形是正方形解答．

解答：（1）证明：如图，连接BD，
∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点，
∴EH是△ABD的中位线，FG是△BCD的中位线，
∴EH∥BD且EH=

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BD，FG∥BD且FG=

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BD，
∴EH∥FG且EH=FG，
∴四边形EFGH为平行四边形；

（2）解：连接AC，
同理可得EF∥AC且EF=

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AC，
所以，AC=BD时，四边形EFGH为菱形；
AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形；
AC=BD且AC⊥BD时，四边形EFGH为正方形．
故答案为：AC=BD；AC⊥BD；AC=BD且AC⊥BD．

点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，矩形、菱形、正方形与平行四边形的关系，（1）作辅助线构造出三角形是解题的关键，（2）熟练掌握矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形是解题的关键．