Question

23、如图，已知⊙O₁和⊙O₂相交于A、B两点，直线CD、EF过点B交⊙O₁于点C、E，交⊙O₂于点D、F．
（1）求证：△ACD∽△AEF；
（2）若AB⊥CD，且在△AEF中，AF、AE、EF的长分别为3、4、5，求证：AC是⊙O₂的切线．

Answer 1

分析：（1）两角对应相等可以判定△ACD∽△AEF．
（2）由勾股定理得出∠EAF=90°，证明AC是⊙O₂的切线，AC⊥CD是关键，通过△ACD∽△AEF得以证明．

解答：证明：（1）∵在⊙O₁中，∠C=∠E，
∵∠D=∠F，
∴△ACD∽△AEF；

（2）∵AB⊥CD，即∠ABD=90°，
∴AD是⊙O₂的直径，
∵在△AEF中，AF²+AE²=3²+4²=5²=EF²，
∴∠EAF=90°，
由（1）得△ACD∽△AEF，
∴∠CAD=∠EAF=90°，
∴AC⊥AD，
又∵AD是⊙O₂的直径，
∴AC是⊙O₂的切线．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质及切线的判定的综合运用．