Question

8．如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连结AE．

（1）如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）如图2，当点D不与M重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
（3）如图3，延长BD交AC于点H，若BH⊥AC，且BH=AM．
①求∠CAM的度数；
②当FH=$\sqrt{3}$，DM=4时，求DH的长．

Answer 1

分析 （1）只要证明AE=BM，AE∥BM即可解决问题；
（2）成立．如图2中，过点M作MG∥DE交CE于G．由四边形DMGE是平行四边形，推出ED=GM，且ED∥GM，由（1）可知AB=GM，AB∥GM，可知AB∥DE，AB=DE，即可推出四边形ABDE是平行四边形；
（3）①如图3中，取线段HC的中点I，连接MI，只要证明MI=$\frac{1}{2}$AM，MI⊥AC，即可解决问题；
②设DH=x，则AH=$\sqrt{3}$x，AD=2x，推出AM=4+2x，BH=4+2x，由四边形ABDE是平行四边形，推出DF∥AB，推出$\frac{HF}{HA}$=$\frac{HD}{HB}$，可得$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}x}$=$\frac{x}{4+2x}$，解方程即可；

解答 （1）证明：如图1中，

∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠ABM，
∵CE∥AM，
∴∠ECD=∠ADB，
∵AM是△ABC的中线，且D与M重合，
∴BD=DC，
∴△ABD≌△EDC，
∴AB=ED，∵AB∥ED，
∴四边形ABDE是平行四边形．

（2）结论：成立．理由如下：
如图2中，过点M作MG∥DE交CE于G．

∵CE∥AM，
∴四边形DMGE是平行四边形，
∴ED=GM，且ED∥GM，
由（1）可知AB=GM，AB∥GM，
∴AB∥DE，AB=DE，
∴四边形ABDE是平行四边形．

（3）①如图3中，取线段HC的中点I，连接MI，

∵BM=MC，
∴MI是△BHC的中位线，
∴MI∥BH，MI=$\frac{1}{2}$BH，
∵BH⊥AC，且BH=AM．
∴MI=$\frac{1}{2}$AM，MI⊥AC，
∴∠CAM=30°．
②设DH=x，则AH=$\sqrt{3}$x，AD=2x，
∴AM=4+2x，
∴BH=4+2x，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴DF∥AB，
∴$\frac{HF}{HA}$=$\frac{HD}{HB}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}x}$=$\frac{x}{4+2x}$，
解得x=1+$\sqrt{5}$或1-$\sqrt{5}$（舍弃），
∴DH=1+$\sqrt{5}$．

点评 本题考查四边形综合题、平行四边形的判定和性质、直角三角形30度角的判定、平行线分线成比例定理、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考压轴题．