Question

若m₁、m₂、n₁、n₂是实数，且m₁m₂=2（n₁+n₂）．求证：方程x²+m₁x+n₁=0和方程x²+m₂x+n₂=0中至少有一个方程有实数根．

Answer 1

考点：根的判别式

专题：证明题

分析：首先分别求出两个方程的判别式，然后把它们相加，接着利用m₁m₂=2（n₁+n₂）证明它们的和是非负数，根据判别式与方程的根的关系即可解决问题．

解答：解：∵方程x²+m₁x+n₁=0的判别式为△₁=m₁²-4n₁，
方程x²+m₂x+n₂=0的判别式为△₂=m₂²-4n₂，
∴△₁+△₂=m₁²-4n₁+m₂²-4n₂=m₁²+m₂²-4（n₁+n₂），
∵m₁m₂=2（n₁+n₂），
∴△₁+△₂=m₁²+m₂²-2m₁m₂=（m₁-m₂）²≥0，
∴△₁和△₂中至少有一个正数或都是0，
∴方程x²+m₁x+n₁=0和方程x²+m₂x+n₂=0中至少有一个方程有实数根．

点评：此题考查了一元二次方程的根和判别式之间的关系，若△＞0，则方程有两个不相等的实数根；若△=0，则方程有两个相等的实数根；若△＜0，则方程没有实数根．