Question

【题目】如图，AD⊥BC于D，BE⊥AC于F，BE交AD于F，BF＝AC，

（1）求证：FD＝CD；

（2）连DE，求证：ED平分∠BEC；

（3）在（2）条件下，点P在AC上，连BP、DP，BP交AD于Q， BP平分∠EBC，∠BPD＝∠BFD，△APQ的面积为4，求线段PD的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）；

【解析】

（1）先证明△BFD△ACD，即可得出FD＝CD；

（2）过D作DG⊥BE于G，DH⊥AC于H，由“AAS”可证△BDG△ADH，可得DG=DH，由角平分线的性质可得ED平分∠BEC；

（3）如图，过点P作PH⊥CD于H，PN⊥AD于N，延长PN交BE于点G，由角平分线的性质可证PH=PN=PE，通过全等三角形的性质可证AE=PE=PH，由面积公式可得PH=2，由直角三角形的性质可求解；

（1）证明：∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于F，

∴∠BDA=∠CDA=90°，∠FEA=90°，

∵∠BFD=∠AFE，∠BFD+∠FBD=90°，∠AFE+∠FAE=90°，

∴∠FBD=∠FAE=∠CAD，

∵∠DAC+∠ACD=90°，∠BFD=∠AFE，∠AFE+∠FAE=90°，

∴∠BFD=∠ACD，

在△BFD和△ACD中，

∴△BFD△ACD，

∴FD＝CD；

（2）证明：如图1，过D作DG⊥BE于G，DH⊥AC于H，

∵△BFD△ACD，

∴∠B=∠A，BD=AD，

∴△BDG△ADH，

∴DG=DH，且DG⊥BE，DH⊥AC，

∴ED平分∠BEC；

（3）如图，过点P作PH⊥CD于H，PN⊥AD于N，延长PN交BE于点G，

∵BP平分∠EBC，PH⊥BC，∠PEB=90°，PE=PH，

∴∠EBP=∠PBD，

∵∠PDC=∠PBD+∠BPD=，

∴∠PDC==45°，且∠ADC=90°，

∴∠ADP=∠PDC=45°，且PH⊥DC，PN⊥AD，

∴PH=PN，

∴PH=PN=PE，且∠APN=∠GPE，∠ANP=∠GEP=90°，

∴△APN△GPE，

∴AP=GP，

∴AE=GQ，

∵PH⊥CD，PN⊥AD，AD⊥CB，

∴四边形DHPN是矩形，且PH=PN，

∴四边形DHPN是正方形，

∴PH=QD=DH=NP，且FD=CD，

∴FN=CH，

∵∠A+∠C=90°，∠A+∠AFE=90°

∴∠C=∠AFE=∠GFN，且FN=CH，∠PHC=∠GNF，

∴△GNF△PHC，

∴PH=GN，

∴PH=AE=PE，

∵∠APB=∠PBC+∠C，∠AQP=∠GFN+∠EBP，

∴∠APB=∠AQP，

∴AP=AQ=2PH，

∵△APQ的面积为4，

∴，

∴，

∴PH=2，

∴PH=DH=2，且PH⊥CD，

∴；