Question

9．已知x+$\frac{1}{x}$=2，求代数式x+x²+x⁴+x⁸+…+x¹⁰²⁴+$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{{x}^{4}}$+$\frac{1}{{x}^{8}}$+…+$\frac{1}{{x}^{1024}}$．

Answer 1

分析 根据题意可以先求出${x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}$和${x}^{4}+\frac{1}{{x}^{4}}$值，从而可以先发现其中的规律，即可解答本题．

解答 解：∵x+$\frac{1}{x}$=2，
∴${x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}=（x+\frac{1}{x}）^{2}-2$=2²-2=2，
∴${x}^{4}+\frac{1}{{x}^{4}}=（{x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}）^{2}-2$=2²-2=2，
∴x+x²+x⁴+x⁸+…+x¹⁰²⁴+$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{{x}^{4}}$+$\frac{1}{{x}^{8}}$+…+$\frac{1}{{x}^{1024}}$
=$（x+\frac{1}{x}）+（{x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}）+…+（{x}^{1024}+\frac{1}{{x}^{1024}}）$
=$\underset{\underbrace{2+2+2+…+2}}{11个2}$
=2×11
=22．

点评 本题考查分式的化简求值、规律型：数字的变化类，解题的关键是明确题意，发现题目中式子的变化规律．