Question

4．有一个著名的希波克拉蒂月牙问题，如图，以AB为直径作半圆，C是圆弧上一点（不与A、B重合），以AC、BC为直径分别作半圆，围成两个月牙（阴影部分）．已知直径AB=20cm，直径AC=12cm，直径BC=16cm．（注：此时∠ACB是直角）
（1）请你猜测：阴影部分的面积与三角形ABC面积之间有怎样的关系；
（2）求出两个月牙形的周长和．

Answer 1

分析 （1）根据三个半圆的面积得到，两个小半圆的面积=大半圆的面积，同时减去大半圆中除了三角形面积之外两个圆弧的面积，即可得到结论；
（2）根据题意得两个月牙形的周长和=两个小半圆的周长+大半圆的周长．

解答 解：（1）∵阴影部分的面积=$\frac{1}{2}$（$\frac{16}{2}$）²π+$\frac{1}{2}$（$\frac{12}{2}$）²π+$\frac{1}{2}×12×16$-$\frac{1}{2}$（$\frac{20}{2}$）²π=$\frac{1}{2}π×64$$+\frac{1}{2}π×36$+96-$\frac{1}{2}π×100$=96，
S_△ABC=$\frac{1}{2}×12×16$=96，
∴阴影部分的面积=S△ABC；

（2）$\frac{1}{2}$π×（12+16+20）=24πcm．
答：两个月牙形的周长和为24πcm．

点评 本题考查了勾股定理，圆的面积，圆的周长，熟记圆的面积和周长的计算公式是解题的关键．