Question

如图，在矩形AB CD中，点M、N分别在AD、BC边上，且AM=CN．
（1）求证：四边形BMDN是平行四边形；
（2）若将矩形分别沿BM、DN折叠后A、C两点均落在矩形内部的点O处，此时能判定四边形BMDN是菱形吗？请证明你的结论．

Answer 1

考点：矩形的性质,平行四边形的判定,菱形的判定,翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：（1）根据矩形的性质，可得AD与BC的关系，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得证明的结论；
（2）根据折叠的性质，可得△ABM与△OBM，△CND与△OND的关系，根据全等三角形的性质，可得∠BON的度数，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得证明结论．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形
∴AD=BC，AD∥BC，
∵AM=CN
∴AD-AM=BC-CN，
即MD=BN，
∵MD=BN，AD∥BC
∴四边形BMDN是平行四边形；
（2）能判定四边形BMDN是菱形，
证明：∵四边形ABCD是矩形
∴AB=CD，∠A=∠C=90°
由折叠可知，
∴△ABM≌△OBM，△CDN≌△ODN
∴OM=AM，OB=OA，∠BOM=∠A=90°
BD⊥MN，
∵BMDN是平行四边形，
∴平行四边形BMDN是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．

点评：本题考查了矩形的性质，利用了矩形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定．