Question

17．综合与实践：
发现问题：
如图①，已知：△OAB中，OB=3，将△OAB绕点O逆时针旋转90°得△OA′B，连接BB′．
则BB′=3$\sqrt{2}$．
问题探究：
如图②，已知△ABC是边长为4$\sqrt{3}$的等边三角形，以BC为边向外作等边△BCD，P为△ABC内一点，将线段CP绕点C逆时针旋转60°，P的对应点为Q．
（1）求证：△DCQ≌△BCP
（2）求PA+PB+PC的最小值．
实际应用：
如图③，某货运场为一个矩形场地ABCD，其中AB=500米，AD=800米，顶点A、D为两个出口，现在想在货运广场内建一个货物堆放平台P，在BC边上（含B、C两点）开一个货物入口M，并修建三条专用车道PA、PD、PM．若修建每米专用车道的费用为10000元，当M，P建在何处时，修建专用车道的费用最少？最少费用为多少？

Answer 1

分析 发现问题：
（1）由等边三角形的性质和旋转的性质，得到△DCQ≌△BCP的条件；
（2）由两点之间线段最短得PA+PB+PC最小时的位置，用等边三角形的性质计算；
实际应用：先确定出最小值时的位置，当M，P，P₁，D₁在同一条直线上时，AP+PM+DP最小，最小值为D₁N，再用等边三角形的性质计算．

解答 解：发现问题：
由旋转有，∠∠BOB′=90°，OB=3，
根据勾股定理得，BB′=3$\sqrt{2}$，
（1）∵△BDC是等边三角形，
∴CD=CB，∠DCB=60°，
由旋转得，∠PCQ=60°，PC=QC，
∴∠DCQ=∠BCP，
在△DCQ和△BCP中
$\left\{\begin{array}{l}{CD=CB}\\{∠DCQ=∠BCP}\\{CQ=CP}\end{array}\right.$
∴△DCQ≌△BCP，
（2）如图1，连接PQ，

∵PC=CQ，∠PCQ=60°
∴△CPQ是等边三角形，
∴PQ=PC，
由（1）有，DQ=PB，
∴PA+PB+PC=AP+PQ+QD，
由两点之间线段最短得，AP+PQ+QD≥AD，
∴PA+PB+PC≥AD，
∴当点A，P，Q，D在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值为AD的长，
作DE⊥AB，
∵△ABC为边长是4$\sqrt{3}$的等边三角形，
∴CB=AC=4$\sqrt{3}$，∠BCA=60°，
∴CD=CB=4$\sqrt{3}$，∠DCE=60°，
∴DE=6，∠DAE=∠ADC=30°，
∴AD=12，
即：PA+PB+PC取最小值为12；
实际应用：
如图2，
连接AM，DM，将△ADP绕点A逆时针旋转60°，得△AP′D′，
由（2）知，当M，P，P′，D′在同一条直线上时，AP+PM+DP最小，最小值为D′N，
∵M在BC上，
∴当D′M⊥BC时，D′M取最小值，
设D′M交AD于E，
∵△ADD′是等边三角形，
∴EM=AB=500，
∴BM=400，PM=EM-PE=500-$\frac{400\sqrt{3}}{3}$，
∴D′E=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AD=400$\sqrt{3}$，
∴D′M=400$\sqrt{3}$+500，
∴最少费用为10000×（400$\sqrt{3}$+500）=1000000（4$\sqrt{3}$+5）万元；
∴M建在BC中点（BM=400米）处，点P在过M且垂直于BC的直线上，且在M上方（500-$\frac{400\sqrt{3}}{3}$）米处，最少费用为1000000（4$\sqrt{3}$+5）万元．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，两点之间线段最短时的位置的确定，解本题的关键是确定取最小值时的位置．