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如图7,正方形ABCD的对角线相交于点O,∠CAB的平分线分别交BDBCEF,作BHAF于点H,分别交ACCD于点GP,连结GEGF
(1)求证:△OAE ≌△OBG

(2)试问:四边形BFGE是否为菱形?若是,请证明;若不是,请说明理由.

(3)试求:的值(结果保留根号).

 



.解:(1)证明:

∵四边形ABCD是正方形

∴OA=OB,∠AOE=∠BOG=90°            

∵BH⊥AF

∴∠AHG=90°

∴∠GAH+∠AGH=90°=∠OBG+∠AGH

∴∠GAH=∠OBG

∴△OAE≌△OBG.

(2)四边形BFGE是菱形,理由如下:

∵∠GAH=∠BAH,AH=AH, ∠AHG=∠AHB

∴△AHG≌△AHB

∴GH=BH

∴AF是线段BG的垂直平分线

∴EG=EB,FG=FB

∵∠BEF=∠BAE+∠ABE=,∠BFE=90°-∠BAF=67.5°

∴∠BEF=∠BFE                    

∴EB=FB

∴EG=EB=FB=FG

∴四边形BFGE是菱形

(3)设OA=OB=OC=a,菱形GEBF的边长为b.

∵四边形BFGE是菱形,

 ∴GF∥OB, ∴∠CGF=∠COB=90°,

 ∴∠GFC=∠GCF=45°,

∴CG=GF=b

(也可由△OAE≌△OBG得OG=OE=a-b,OC-CG=a-b,得CG=b)

∴OG=OE=a-b,在Rt△GOE中,由勾股定理可得:,求得

∴AC=,AG=AC-CG=

∵PC∥AB, ∴△CGP∽△AGB,

,

由(1)△OAE≌△OBG得AE=GB,


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