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10.如图,点E为正方形ABCD中AD边上的动点,AB=2,以BE为边画正方形BEFG,连结CF和CE,则△CEF面积的最小值为$\frac{3}{2}$.

分析 (方法一)过点F作FM⊥AD延长线于点M,令EF与CD的交点为N点,设AE=x.根据三角形的面积公式可知S△CEF=$\frac{1}{2}$CN•ME,由此可知当CN最小时△CEF的面积取最小值.根据给定的条件已经角的计算找出“∠AEB=∠MFE,∠ABE=∠MEF”,从而证出△ABE≌△MEF,即得出MF=AE,ME=AB,再通过相似三角形的性质用含x的关系式表示出DN的长度,配方后即可找出DN的最大值,将其代入前面的面积公式中即可得出结论.
(方法二)连接CG,由正方形的性质结合全等三角形的判定定理SAS即可证出△ABE≌△CBG,设AE=x,则S正方形BEFG=4+x2,根据三角形的面积即可得出S△CEF+SBCG=$\frac{1}{2}$S正方形BEFG,进而得出S△CEF=$\frac{1}{2}$S正方形BEFG-SBCG=2+$\frac{1}{2}$x2-S△ABE=2+$\frac{1}{2}$x2-x=$\frac{1}{2}$(x-1)2+$\frac{3}{2}$,再根据二次函数的性质即可得出当x=1时,△CEF面积最小,最小值为$\frac{3}{2}$.

解答 解:(方法一)过点F作FM⊥AD延长线于点M,令EF与CD的交点为N点,如图所示.

则S△CEF=$\frac{1}{2}$CN•ME.
∵四边形ABCD为正方形,四边形BEFG为正方形,
∴∠A=90°,∠BEF=90°,BE=EF,
∴∠AEB+∠ABE=90°,∠MEF+∠MFE=90°,∠AEB+∠BEF+∠MEF=180°,
∴∠AEB=∠MFE,∠ABE=∠MEF.
在△ABE和△MEF中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠MFE}\\{BE=EF}\\{∠ABE=∠MEF}\end{array}\right.$,
∴△ABE≌△MEF(ASA).
∴MF=AE,ME=AB.
∵CD⊥AD,FM⊥AD,
∴ND∥FM,
∴△EDN∽△EMF,
∴$\frac{DN}{MF}=\frac{ED}{EM}$.
设AE=x,则ED=AD-AE=2-x,EM=AB=2,MF=AE=x,
∴DN=$\frac{ED•MF}{EM}$=-x2+x=-$\frac{1}{2}$(x-1)2+$\frac{1}{2}$≤$\frac{1}{2}$.
∴CN=CD-DN≥2-$\frac{1}{2}$≥$\frac{3}{2}$.
∴△CEF面积的最小值为$\frac{1}{2}$CN•ME=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×2=$\frac{3}{2}$.
故答案为:$\frac{3}{2}$.
(方法二)连接CG,如图所示.
在△ABE和△CBG中,$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠ABE=∠CBG}\\{BE=BG}\end{array}\right.$,
∴△ABE≌△CBG(SAS).
设AE=x,则BE2=AB2+AE2=4+x2
∴S正方形BEFG=BE2=4+x2
∴S△CEF+SBCG=$\frac{1}{2}$S正方形BEFG=2+$\frac{1}{2}$x2
∴S△CEF=$\frac{1}{2}$S正方形BEFG-SBCG=2+$\frac{1}{2}$x2-S△ABE=2+$\frac{1}{2}$x2-x=$\frac{1}{2}$(x-1)2+$\frac{3}{2}$,
当x=1时,△CEF面积最小,最小值为$\frac{3}{2}$.
故答案为:$\frac{3}{2}$.

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、三角形的面积公式及二次函数的性质,解题的关键是找出线段DN的最大值.本题属于中档题,难度不大,解决该题型题目时,根据三角形的面积公式找出其去最值的条件,再结合二次函数的性质去解决最值问题.

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