Question

10．如图，点E为正方形ABCD中AD边上的动点，AB=2，以BE为边画正方形BEFG，连结CF和CE，则△CEF面积的最小值为$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （方法一）过点F作FM⊥AD延长线于点M，令EF与CD的交点为N点，设AE=x．根据三角形的面积公式可知S_△CEF=$\frac{1}{2}$CN•ME，由此可知当CN最小时△CEF的面积取最小值．根据给定的条件已经角的计算找出“∠AEB=∠MFE，∠ABE=∠MEF”，从而证出△ABE≌△MEF，即得出MF=AE，ME=AB，再通过相似三角形的性质用含x的关系式表示出DN的长度，配方后即可找出DN的最大值，将其代入前面的面积公式中即可得出结论．
（方法二）连接CG，由正方形的性质结合全等三角形的判定定理SAS即可证出△ABE≌△CBG，设AE=x，则S_{正方形BEFG}=4+x²，根据三角形的面积即可得出S_△CEF+S_BCG=$\frac{1}{2}$S_{正方形BEFG}，进而得出S_△CEF=$\frac{1}{2}$S_{正方形BEFG}-S_BCG=2+$\frac{1}{2}$x²-S_△ABE=2+$\frac{1}{2}$x²-x=$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{3}{2}$，再根据二次函数的性质即可得出当x=1时，△CEF面积最小，最小值为$\frac{3}{2}$．

解答 解：（方法一）过点F作FM⊥AD延长线于点M，令EF与CD的交点为N点，如图所示．

则S_△CEF=$\frac{1}{2}$CN•ME．
∵四边形ABCD为正方形，四边形BEFG为正方形，
∴∠A=90°，∠BEF=90°，BE=EF，
∴∠AEB+∠ABE=90°，∠MEF+∠MFE=90°，∠AEB+∠BEF+∠MEF=180°，
∴∠AEB=∠MFE，∠ABE=∠MEF．
在△ABE和△MEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠MFE}\\{BE=EF}\\{∠ABE=∠MEF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△MEF（ASA）．
∴MF=AE，ME=AB．
∵CD⊥AD，FM⊥AD，
∴ND∥FM，
∴△EDN∽△EMF，
∴$\frac{DN}{MF}=\frac{ED}{EM}$．
设AE=x，则ED=AD-AE=2-x，EM=AB=2，MF=AE=x，
∴DN=$\frac{ED•MF}{EM}$=-x²+x=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{1}{2}$≤$\frac{1}{2}$．
∴CN=CD-DN≥2-$\frac{1}{2}$≥$\frac{3}{2}$．
∴△CEF面积的最小值为$\frac{1}{2}$CN•ME=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×2=$\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$．
（方法二）连接CG，如图所示．
在△ABE和△CBG中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠ABE=∠CBG}\\{BE=BG}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBG（SAS）．
设AE=x，则BE²=AB²+AE²=4+x²，
∴S_{正方形BEFG}=BE²=4+x²．
∴S_△CEF+S_BCG=$\frac{1}{2}$S_{正方形BEFG}=2+$\frac{1}{2}$x²，
∴S_△CEF=$\frac{1}{2}$S_{正方形BEFG}-S_BCG=2+$\frac{1}{2}$x²-S_△ABE=2+$\frac{1}{2}$x²-x=$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{3}{2}$，
当x=1时，△CEF面积最小，最小值为$\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、三角形的面积公式及二次函数的性质，解题的关键是找出线段DN的最大值．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据三角形的面积公式找出其去最值的条件，再结合二次函数的性质去解决最值问题．