Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，P是边BC上的一动点（不与点B，C重合），点B关于直线AP的对称点为E，连接AE，连接DE并延长交射线AP于点F，连接BF

（1）若，直接写出的大小（用含的式子表示）.

（2）求证：.

（3）连接CF，用等式表示线段AF，BF，CF之间的数量关系，并证明.

Answer 1

【答案】（1）45°+；（2）证明见解析；（3）AF=BF+CF.

【解析】

（1）过点A作AG⊥DF于G，由轴对称性质和正方形的性质可得AE=AD，∠BAP=∠EAF，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得∠EAG=∠DAG，即可得∠FAG=∠BAD=45°，∠DAG+∠BAP=45°，根据直角三角形两锐角互余的性质即可得答案；

（2）由（1）可得∠FAG=∠BAD=45°，由AG⊥PD可得∠APG=45°，根据轴对称的性质可得∠BPA=∠APG=45°，可得∠BFD=90°，即可证明BF⊥DF；

（3）连接BD、BE，过点C作CH//FD，交BE延长线于H，由∠BFD=∠BCD=90°可得B、F、C、D四点共圆，根据圆周角定理可得∠FBC=∠FDC，∠DFC=∠DBC=45°，根据平行线的性质可得∠FDC=∠DCH，根据角的和差关系可得∠ABF=∠BCH，由轴对称性质可得BF=EF，可得△BEF是等腰直角三角形，即可得∠BEF=45°，BE=BF，即可证明∠BEF=∠DFC，可得BH//FC，即可证明四边形EFCH是平行四边形，可得EH=FC，EF=CH，利用等量代换可得CH=BF，利用SAS可证明△ABF≌△BCH，可得AF=BH，即可得AF、BF、CF的数量关系.

（1）过点A作AG⊥DF于G，

∵点B关于直线AF的对称点为E，四边形ABCD是正方形，

∴AE=AB，AB=AD=DC=BC，∠BAF=∠EAF，

∴AE=AD，

∵AG⊥FD，

∴∠EAG=∠DAG，

∴∠BAF+∠DAG=∠EAF+∠EAG，

∵∠BAF+∠DAG+∠EAF+∠EAG=∠BAD=90°，

∴∠BAF+∠DAG=∠GAF=45°，

∴∠DAG=45°-，

∴∠ADF=90°-∠DAG=45°+.

（2）由（1）得∠GAF=45°，

∵AG⊥FD，

∴∠AFG=45°，

∵点E、B关于直线AF对称，

∴∠AFB=∠AFE=45°，

∴∠BFG=90°，

∴BF⊥DF.

（3）连接BD、BE，过点C作CH//FD，交BE延长线于H，

∵∠BFD=∠BCD=90°，

∴B、F、C、D四点共圆，

∴∠FDC=∠FBC，∠DFC=∠DBC=45°，

∵CH//FD，

∴∠DCH=∠FDC，

∴∠FBC=∠DCH，

∵∠ABC=∠BCD=90°，

∴∠ABC+∠FBC=∠BCD+∠DCH，即∠ABF=∠BCH，

∵点E、B关于直线AF对称，

∴BF=EF，

∵∠BFE=90°，

∴△BEF是等腰直角三角形，

∴∠BEF=45°，BE=BF，

∴∠BEF=∠DFC，

∴FC//BH，

∴四边形EFCH是平行四边形，

∴EH=FC，CH=BF，

在△ABF和△BCH中，，

∴AF=BH=BE+EH=BF+CF.