Question

我们定义：“四个顶点都在三角形边上的正方形是三角形的内接正方形”．
已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3．
（1）如图1，四边形CDEF是△ABC的内接正方形，则正方形CDEF的边长a₁是

2

；
（2）如图2，四边形DGHI是（1）中△EDA的内接正方形，则第2个正方形DGHI的边长a₂=

4

3

；继续在图2中的△HGA中按上述方法作第3个内接正方形；…以此类推，则第n个内接正方形的边长a_n=

2n

3n-1

．（n为正整数）

Answer 1

分析：（1）由正方形的性质可以得出△BFE∽△BCA，再根据相似三角形的性质就可以把正方形CDEF的边长表示出来，从而得出结论．
（2）由正方形的性质可以得出△EIH∽△EDA，再根据相似三角形的性质就可以把正方形IDGF的边长表示出来，从而得出结论，通过计算得出的结论寻找其中的变化规律就可以得出第n个内接正方形的边长的值．

解答：解：（1）四边形CDEF是正方形，
∴EF=FC，EF∥FC，
∴△BFE∽△BCA，
∴

BF

BC

=

EF

AC

．设EF=FC=a，
∴

3-a

3

=

a

6

，
∴a=2，
故答案是：2
（2）如图（2）四边形DGHI是正方形，
∴IH=ID，IH∥AD，
∴△EIH∽△EDA，
∴

IE

DE

=

IH

AD

，设IH=ID=b，AD=4，DE=2，
∴

2-b

2

=

b

4

，
∴b=

4

3

，
故答案是：

4

3

，
如图（3）由以上同样的方法可以求得正方形PGQS的边长为：

8

9

=

23

32

，
∴第4的个正方形的边长为：

16

27

=

24

33

…
∴第n个内接正方形的边长a_n=

2n

3n-1

故答案为：

2n

3n-1

．

点评：本题考查了正方形的性质的运用，相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用及规律的探索．