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【题目】已知:如图,平行四边形ABCD中,OCD的中点,连接AO并延长,交BC的延长线于点E

1)求证:△AOD≌△EOC

2)连接ACDE,当∠B=AEB=45°时,求证四边形 ACED是正方形.

【答案】1)见解析;(2)见解析

【解析】

1)根据平行线的性质可得∠D=OCE,∠DAO=E,再根据中点定义可得DO=CO,然后可利用AAS证明△AOD≌△EOC
2)当∠B=AEB=45°时,四边形ACED是正方形,首先证明四边形ACED是平行四边形,再证对角线互相垂直且相等可得四边形ACED是正方形.

证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴ADBC

∴∠D=OCE,∠DAO=E

OCD的中点,∴OC=OD

AODEOC中,,∴△AOD≌△EOCAAS);

2)当∠B=AEB=45°时,四边形ACED是正方形.

∵△AOD≌△EOC,∴OA=OE

又∵OC=OD,∴四边形ACED是平行四边形.

∵∠B=AEB=45°,∴AB=AE,∠BAE=90°

∵四边形ABCD是平行四边形,∴ABCDAB=CD

∴∠COE=BAE=90°.∴□ACED是菱形.

AB=AEAB=CD,∴AE=CD

∴菱形ACED是正方形.

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