【题目】已知:如图,平行四边形ABCD中,O是CD的中点,连接AO并延长,交BC的延长线于点E.
(1)求证:△AOD≌△EOC;
(2)连接AC、DE,当∠B=∠AEB=45°时,求证四边形 ACED是正方形.
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【解析】
(1)根据平行线的性质可得∠D=∠OCE,∠DAO=∠E,再根据中点定义可得DO=CO,然后可利用AAS证明△AOD≌△EOC;
(2)当∠B=∠AEB=45°时,四边形ACED是正方形,首先证明四边形ACED是平行四边形,再证对角线互相垂直且相等可得四边形ACED是正方形.
证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC.
∴∠D=∠OCE,∠DAO=∠E.
∵O是CD的中点,∴OC=OD,
在△AOD和△EOC中,,∴△AOD≌△EOC(AAS);
(2)当∠B=∠AEB=45°时,四边形ACED是正方形.
∵△AOD≌△EOC,∴OA=OE.
又∵OC=OD,∴四边形ACED是平行四边形.
∵∠B=∠AEB=45°,∴AB=AE,∠BAE=90°.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD.
∴∠COE=∠BAE=90°.∴□ACED是菱形.
∵AB=AE,AB=CD,∴AE=CD.
∴菱形ACED是正方形.
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【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90,∠ABC=45 ,点O是AB的中点,过A、C两点向经过点O的直线作垂线,垂足分别为E、F.
(1)如图①,求证:EF=AE+CF.
(2)如图②,图③,线段EF、AE、CF之间又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想.
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【题目】(1)如图①,点,,在上,点在外,比较与的大小,并说明理由;
(2)如图②,点,,在上,点在内,比较与的大小,并说明理由;
(3)利用上述两题解答获得的经验,解决如下问题:
在平面直角坐标系中,如图③,已知点,,点在轴上,试求当度数最大时点的坐标.
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【题目】在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+(k﹣1)x﹣k与直线y=kx+1交于A,B两点,点A在点B的左侧.
(1)如图1,当k=1时,直接写出A,B两点的坐标;
(2)在(1)的条件下,点P为抛物线上的一个动点,且在直线AB下方,试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标;
(3)如图2,抛物线y=x2+(k﹣1)x﹣k(k>0)与x轴交于点C、D两点(点C在点D的左侧),在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q,使得∠OQC=90°?若存在,请求出此时k的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】(1)问题:如图1,在四边形ABCD中,点P为AB上一点,∠DPC=∠A=∠B=90°.
求证:AD·BC=AP·BP.
(2)探究:如图2,在四边形ABCD中,点P为AB上一点,当∠DPC=∠A=∠B=θ时,上述结论是否依然成立?说明理由.
(3)应用:请利用(1)(2)获得的经验解决问题:
如图3,在△ABD中,AB=12,AD=BD=10.点P以每秒1个单位长度的速度,由点A出发,沿边AB向点B运动,且满足∠DPC=∠A.设点P的运动时间为t(秒),当以D为圆心,以DC为半径的圆与AB相切,求t的值.
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【题目】已知点A、B、C是直径为6cm的⊙O上的点,且AB=3cm,AC=3cm,则∠BAC的度数为( )
A. 15° B. 75°或15° C. 105°或15° D. 75°或105°
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【题目】在菱形ABCD中,∠ABC=60°
(1)如图1,P是边BD延长线上一点,以AP为边向右作等边△APE,连接BE、CE.
①求证:CE⊥AD;
②若AB=,BE=,求AE的长;
(2)如图2,P是边CD上一点,点D关于AP的对称点为E,连接BE并延长交AP的延长线于点F,连接DE、DF.若BE=11,DE=5,求△ADF的面积.
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【题目】已知抛物线的对称轴是直线,与轴相交于,两点(点在点右侧),与轴交于点.
(1)求抛物线的解析式和,两点的坐标;
(2)如图,若点是抛物线上、两点之间的一个动点(不与、重合),是否存在点,使四边形的面积最大?若存在,求点的坐标及四边形面积的最大值;若不存在,请说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线的对称轴与x轴交于点A.
(1)A的坐标为 (用含a的代数式表示);
(2)若抛物线与x轴交于P,Q两点,且PQ=2,求抛物线的解析式.
(3)点B的坐标为,若该抛物线与线段AB恰有一个公共点,结合函数图象,直接写出a的取值范围.
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