Question

如图，△DAC和△EBC均为等边三角形，AE，BD交于O点，且分别与CD，CE交于M，N．则下列结论：①AE=BD；②CM=CN；③∠AOB=120°；④CO平分∠AOB．其中正确的有

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

D
分析：①易证△ACE≌△DCB，即可得到；②由△ACE≌△DCB得，∠MAC=∠NDC，△DAC和△EBC均为等边三角形，得∠DCE=60°，即可证明△ACM≌△DCN；③因为∠MAC=∠NDC，∠DMO=∠AMC，所以，∠ACM=∠AOD=60°；④因∠MON=120°，又因为△BCN∽△E0N，所以=，因为∠ONC=∠BNE，所以△ONC∽△ENB，所以∠CON=∠CEB=60°，∠MOC=60°，则OC平分∠AOB．
解答：解：①在△ACE和△DCB中，
AC=CD，CE=BC，∠ACE=∠ECB，
∴△ACE≌△DCB，
∴∠MAC=∠NDC，AE=BD；
②∵△DAC和△EBC均为等边三角形，
∴∠DCE=60°，
∴△ACM≌△DCN，
∴CM=CN；
③∵∠MAC=∠NDC，∠DMO=∠AMC，
∴∠ACM=∠AOD=60°，
∴∠AOB=180°-60°=120°；
④∵∠MON=120°，又因为△BCN∽△E0N，
∴=，∵∠ONC=∠BNE，
∴△ONC∽△ENB，
∴∠CON=∠CEB=60°，∠MOC=60°，
∴OC平分∠AOB．
故选D．
点评：本题考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定及性质，熟练掌握三角形全等、相似的性质是解答本题的基础．