Question

如图，以正方形ABCD的边AB为直径作⊙O，E是⊙O上的一点，EF⊥AB于F，AF＞BF，作直线DE交BC于点G．若正方形的边长为10，EF=4．
（1）分别求AF、BF的长．
（2）求证：DG是⊙O的切线．

Answer 1

分析：（1）已知直径易知半径．连接OE，在Rt△OEF中运用勾股定理求OF，再求AF，BF；
（2）欲证DG为切线，则证OE⊥DG．连接OD，证明△OAD≌△OED即可．已有两边对应相等，只需证明DE=AD．为此作EH⊥AD于H，运用勾股定理可证．

解答：（1）解：连接OE．
∵正方形边长为10，AB是直径，
∴OB=OE=5．
∵EF⊥AB，EF=4，
∴OF=

52-42

=3，
∴BF=2，AF=8；

（2）证明：连接OD，作EH⊥AD于H点．
∵四边形AFED为直角梯形，
∴EH=AF=8，HD=10-4=6．
∴DE=

62+82

=10．
∴AD=DE．
又OA=OE，OD公共边，
∴△OAD≌△OED，
∴∠OED=∠OAD=90°，
∴DG是⊙O的切线．

点评：此题考查了正方形的性质、圆的切线的判定、勾股定理等知识点，综合性较强，难度较大．