Question

6．如图，以∠AOB的顶点O为端点画一条射线OC，OM，ON分别是∠AOC和∠BOC的角平分线．
（1）如图①，若∠AOC=50°，∠BOC=30°，则∠MON的度数是40°；
（2）如图②，若∠AOB=100°，∠BOC=30°，则∠MON的度数是50°；
（3）根据以上解答过程，完成下列探究：
探究一：如图③，当射线OC位于∠AOB内部时，请写出∠AOB与∠MON的数量关系，并证明你的结论；
探究二：如图④，当射线OC位于∠AOB外部时，请写出∠AOB与∠MON的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论；
（2）方法同（1）；
（3）方法同（1）．

解答 解：（1）∵OM，ON分别是∠AOC和∠BOC的角平分线，
∴∠COM=$\frac{1}{2}∠$AOC=25°，∠CON=$\frac{1}{2}∠$BOC=15°，
∴∠MON=∠MOC+∠NOC=40°，
故答案为：40°；
（2）∵∠AOB=100°，∠BOC=30°，
∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=70°，
∵OM，ON分别是∠AOC和∠BOC的角平分线，
∴∠COM=$\frac{1}{2}∠$AOC=35°，∠CON=$\frac{1}{2}∠$BOC=15°，
∴∠MON=∠MOC+∠NOC=50°，
故答案为：50°；
（3）探究一：如图③，当射线OC位于∠AOB内部时，∠MON=$\frac{1}{2}$∠AOB，
证明：∵OM，ON分别是∠AOC和∠BOC的角平分线，
∴∠COM=$\frac{1}{2}∠$AOC=25°，∠CON=$\frac{1}{2}∠$BOC=15°，
∴∠MON=∠MOC+∠NOC=$\frac{1}{2}$（∠AOC+∠BOC）=$\frac{1}{2}∠$AOB；
探究二：如图④，当射线OC位于∠AOB外部时，∠MON=$\frac{1}{2}$∠AOB，
证明：∵OM，ON分别是∠AOC和∠BOC的角平分线，
∴∠COM=$\frac{1}{2}∠$AOC=25°，∠CON=$\frac{1}{2}∠$BOC=15°，
∴∠MON=∠MOC-∠NOC=$\frac{1}{2}$（∠AOC-∠BOC）=$\frac{1}{2}∠$AOB．

点评 本题主要考查了角平分线的定义，解题的关键是利用了角平分线的定义和图中各角之间的和差关系，难度中等．