Question

如图，已知函数y=x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y=kx+b的图象经过点B（0，-1），并且与x轴以及y=x+1的图象分别交于点C、D．
（1）若点D的横坐标为1，
①求四边形AOCD的面积；
②是否存在y轴上的点P，使得以点P、B、D为顶点的三角形时等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）若点D始终在第一象限，则系数k的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：综合题

分析：（1）①由D在直线y=x+1图象上，且横坐标为1，将x=1代入求出y的值，确定出D坐标，将B与D坐标代入y=kx+b中求出k与b的值，确定出解析式，连接OD，四边形AODC面积=三角形AOD面积+三角形COD面积，求出即可；
②存在，分DP=DB，BP=BD，PB=PD三种情况，依次求出P坐标即可；
（2）联立两直线解析式，消去y表示出x，由交点D在第一象限，求出k的范围即可．

解答：解：（1）①∵点D在y=x+1的图象上，
∴当x=1时，y=2，即D（1，2），
∵函数y=kx+b 的图象经过点B（0，-1）、D（1，2），
∴

b=-1 k+b=2

，
解得：

k=3 b=-1

，
∴直线BD解析式为y=3x-1，
易知A（0，1），令y=0，得x=

1

3

，
∴C（

1

3

，0），
连接OD，
则S_{四边形AOCD}=S_△AOD+S_△COD=

1

2

×1×1+

1

2

×

1

3

×2=

5

6

；
②分三种情况考虑：
当DP=DB时，得到P（0，5）；
当BP=BD时，BD=

10

，得到P（0，-1-

10

）或P（0，-1+

10

）；
当PB=PD时，设P（0，a），则（a+1）²=1²+（2-a）²，
解得：a=

2

3

，即P（0，

2

3

）；

（2）将B（0，-1）代入y=kx+b得：b=-1，即直线解析式为y=kx-1，
联立得：

y=x+1 y=kx-1

，
消去y得：x+1=kx-1，
解得：x=

-2

1-k

，
由D坐标在第一象限，得到

-2

1-k

＞0，即1-k＜0，
解得：k＞1．
故答案为：（3）k＞1．

点评：此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，两直线的交点坐标，等腰三角形的性质，坐标与图形性质，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键．