Question

如图：四边形ABCD对角线AC与BD相交于点O，OD=2OA，OC=2OB．
（1）求证：△AOB∽△DOC；
（2）点E在线段OC上，若AB∥DE，求证：OD²=OE•OC．

Answer 1

分析：（1）根据对应边成比例，夹角相等，可证△AOB∽△DOC；
（2）根据相似三角形的性质结合已知条件可得△DOC∽△EOD，再根据相似三角形对应边成比例求解．

解答：证明：（1）∵OD=2OA，OC=2OB，
∴

OA

OD

=

OB

OC

=

1

2

．（2分）
又∠AOB=∠DOC，（2分）
∴△AOB∽△DOC．（2分）

（2）由（1）得：△AOB∽△DOC．
∴∠ABO=∠DCO．（1分）
∵AB∥DE，
∴∠ABO=∠EDO．（1分）
∴∠DCO=∠EDO．（1分）
∵∠DOC=∠EOD，
∴△DOC∽△EOD．（1分）
∴

OD

OE

=

OC

OD

．（1分）
∴OD²=OE•OC．（1分）

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形相似的判定和性质一直是中考考查的热点之一，注意找准对应角和对应边．