Question

20．如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y₁=x²（x≥0）与y₂=$\frac{{x}^{2}}{4}$（x≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y₁于点D，直线DE∥AC，交y₂于点E，则$\frac{DE}{AB}$=（　　）

• A． 2：1
• B． $\sqrt{2}$：1
• C． $\sqrt{5}$：1
• D． 3：1

Answer 1

分析 设A点坐标为（0，a），利用两个函数解析式求出点B、C的坐标，然后求出AB的长度，再根据CD∥y轴，利用y₁的解析式求出D点的坐标，然后利用y₂求出点E的坐标，从而得到DE的长度，然后求出比值即可得解．

解答 解：设A点坐标为（0，a），（a＞0），
则x²=a，解得x=$\sqrt{a}$，
∴点B（$\sqrt{a}$，a），
$\frac{{x}^{2}}{4}$=a，
则x=2$\sqrt{a}$，
∴点C（2$\sqrt{a}$，a），
∵CD∥y轴，
∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，为2$\sqrt{a}$，
∴y₁=（2$\sqrt{a}$）²=4a，
∴点D的坐标为（2$\sqrt{a}$，4a），
∵DE∥AC，
∴点E的纵坐标为4a，
∴$\frac{{x}^{2}}{4}$=4a，
∴x=4$\sqrt{a}$，
∴点E的坐标为（4$\sqrt{a}$，4a），
∴DE=4$\sqrt{a}$-2$\sqrt{a}$=2$\sqrt{a}$，
∴则$\frac{DE}{AB}$=$\frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{a}}$=2．
故选A．

点评 本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据平行于x轴的点的纵坐标相同，平行于y轴的点的横坐标相同，用点A的纵坐标表示出各点的坐标是解题的关键．