Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴为直线x=1，有下列四个判断：

①关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=﹣1，x2=3；

②a﹣b+c=0；

③若抛物线上有三个点分别为（﹣2，y1）、（1，y2）、（2，y3），则y1＜y2＜y3；

④当OC=3时，点P为抛物线对称轴上的一个动点，则△PCA的周长的最小值是，

上述四个判断中正确的 有（　　）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

Answer 1

【答案】B

【解析】

由抛物线与对称轴的交点对①进行判断；由抛物线经过点（-1，0），代入解析式即可对②进行判断；利用抛物线的对称轴对③进行判断；利用抛物线的对称性得到PA=PB，当B、P、C在一条直线上时，PB+PC=BC，此时PA+PC最小，则△PCA的周长最小，根据勾股定理求得AC、BC即可对④进行判断．

∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=-1，x2=3，故①正确；
∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），
∴a-b+c=0，故②正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x==1，抛物线上有三个点分别为（-2，y1）、（1，y2）、（2，y3），
∴|-2-1|＞|2-1|，
∴y1＜y3＜y2，故③错误；
∵P为抛物线对称轴上的一个动点，
∴点A与点B为抛物线的对称点，
∴PA=PB，
∴PA+PC=PB+PC，
当B、P、C在一条直线上时，PB+PC=BC，
此时PA+PC最小，则△PCA的周长最小，
∵OA=1，OC=3，OB=3
∴AC=，BC=2，
∴△PCA的周长最小值为+2．故④错误．
故选：B．