Question

13．已知抛物线y=ax²+bx+c（其中a、b、c都不为0），设它的顶点为P，与y轴的交点是Q．我们把以Q为顶点且过点P的抛物线为原抛物线的伴随抛物线．
（1）①抛物线y=x²-2x+1的伴随抛物线的解析式是y=-x²+1；
②抛物线y=-x²+3x-2的伴随抛物线的解析式是y=x²-2；
③抛物线y=2x²-8x+4的伴随抛物线的解析式是y=-2x²+4．
（2）抛物线y=ax²+bx+c的伴随抛物线的解析式是-ax²+c．
（3）设抛物线y=2x²-8x+4的顶点为P，与x轴的两个交点分别为A，B（A在B的左边）；它的伴随抛物线的顶点为Q，与x轴的两个交点分别为C，D（C在D的左边）．
①问：以P，B，Q，C为顶点的四边形是平行四边形吗？说明理由．
②设点P的横坐标记为x_P，点Q的横坐标记为x_Q，若在x轴上有一动点M（x，0），且x_Q＜x＜x_P，过M作一条垂直于x轴的直线，与两条抛物线分别交于E，F两点，试问是否存在EF=2的情形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）①求出抛物线y=x²-2x+1的顶点以及y轴交于点的坐标，理由待定系数法即可解决问题．②③的解法同①．
（2）根据①②③的结论，找到规律后即可解决问题．
（3）①求出B、D、C、Q坐标，再求出CQ、BD、CD、BQ即可判断．
②先确定x的取值范围，再列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）①∵抛物线y=x²-2x+1的顶点（1，0），与y轴交于点（0，1），
设抛物线y=x²-2x+1的伴随抛物线的解析式为y=ax²+1，把点（1，0）代入得到a=-1，
∴抛物线y=x²-2x+1的伴随抛物线的解析式y=-x²+1，
故答案为y=-x²+1．
②∵抛物线y=-x²+3x-2的顶点（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{4}$），与y轴交于点（0，-2），
设抛物线y=-x²+3x-2的伴随抛物线的解析式为y=ax²-2，把点（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{4}$）代入得到a=1，
∴抛物线y=-x²+3x-2的伴随抛物线的解析式y=x²-2，
故答案为y=x²-2．
③抛物线y=2x²-8x+4的顶点（2，-4），与y轴交于点（0，4），
设抛物线y=2x²-8x+4的伴随抛物线的解析式为y=ax²+4，把点（2，-4）代入得到a=-2，
∴抛物线y=2x²-8x+4的伴随抛物线的解析式y=-2x²+4，
故答案为y=-2x²+4．
（2）由①②③可知，抛物线y=ax²+bx+c的伴随抛物线的解析式是y=-ax²+c．
（3）①结论：四边形BDCQ是平行四边形，
理由：∵设抛物线y=2x²-8x+4的顶点为P，与x轴的两个交点分别为A，B，
∴点P坐标（2，-4），点A坐标（2-$\sqrt{2}$，0），点B坐标（2-$\sqrt{2}$，0），
∴它的伴随抛物线的解析式y=-2x²+4的顶点为Q（0，4），与x轴的两个交点分别为C（-$\sqrt{2}$，0），D（$\sqrt{2}$，0）．
∴QC=$\sqrt{{4}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=3$\sqrt{2}$，BD=$\sqrt{{4}^{2}+（2+\sqrt{2}-2）^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
BQ=$\sqrt{{4}^{2}+（2+\sqrt{2}）^{2}}$，CD=$\sqrt{{4}^{2}+（2+\sqrt{2}）^{2}}$，
∴QC=BD，BQ=CD，
∴四边形BDCQ是平行四边形．
②存在．
∵设点P的横坐标记为x_P，点Q的横坐标记为x_Q，若在x轴上有一动点M（x，0），且x_Q＜x＜x_P，
∴0＜x＜2，
∴EF=-2x²+4-（2x²-8x+4）=2，
∴2x²-4x+1=0，
∴x=$\frac{2±\sqrt{2}}{2}$．
∴x=$\frac{2±\sqrt{2}}{2}$时，EF=2．

点评 本题考查二次函数的综合题、平行四边形的判定、一元二次方程等知识，解题的关键是理解题意，需要熟练掌握求抛物线顶点以及与坐标轴的交点坐标，属于中考压轴题．