Question

19．如图，在每个小正方形的边长为1的方格纸中，点A、B、C、D、E、M、N、G均在小正方形顶上
（1）如果x、y都为锐角，当tanx=$\frac{1}{2}$，tany=$\frac{1}{3}$时，在网格中构造Rt△ACB，使∠ABC=x，构造Rt△BED，使∠DBE=y，连接AD，得△ABD．如图1，可得x+y=45度；
（2）如果α、β都为锐角，当tanα=4，tan$\frac{2}{9}$时，利用上述方法，在图2中画出以（α-β）为一个的三角形，由此可得sin（α-β）=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 （1）作高AF，先求△ABD的面积，再求出高线AF的长，根据三角函数求x+y的度数；
（2）作辅助线，利用同样的方法求出sin（α-β）的值．

解答 解：（1）如图1，过A作AF⊥BD于F，
S_△ABD=4×6-$\frac{1}{2}$×2×4-$\frac{1}{2}$×2×4-$\frac{1}{2}$×2×6=10，
由勾股定理得：BD=$\sqrt{{2}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
AB=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$BD•AF=10，
$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{10}$×AF=10，
AF=$\sqrt{10}$，
在Rt△ABF中，sin（x+y）=$\frac{AF}{AB}$=$\frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴x+y=45°，
故答案为：45；
（2）如图2，∠MNH=α-β，
连接MH，过M作MP⊥NH于P，
S_△MNH=4×9-$\frac{1}{2}$×1×4-$\frac{1}{2}$×2×9-$\frac{1}{2}$×2×8=17，
由勾股定理得：NH=$\sqrt{{2}^{2}+{9}^{2}}$=$\sqrt{85}$，
MN=$\sqrt{{1}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
∴S_△MNH=$\frac{1}{2}$NH•MP=17，
$\frac{1}{2}$×$\sqrt{85}$×MP=17，
MP=$\frac{2\sqrt{85}}{5}$，
在Rt△MNP中，sin（α-β）=$\frac{MP}{MN}$=$\frac{\frac{2\sqrt{85}}{5}}{\sqrt{17}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
故答案为：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了应用与设计作图，还考查了解直角三角形；首先要熟记特殊的三角函数值和三个三角函数的定义，利用面积法先求面积再求高，与勾股定理相结合，求边的长度；从而得出各个三角函数值．