Question

13．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，CE⊥AD于点E，AD=8cm＜BC=4cm，AB=5cm，从初始时刻开始，动点P，Q分别从点A，B同时出发，运动速度均为1cm/s，动点P沿A--B--C--E的方向运动，到点E停止；动点Q沿B--C--E--D的方向运动，到点D停止，设运动时间为xs，△PAQ的面积为ycm²，（这里规定：线段是面积为0的三角形）解答下列问题：
（1）当x=2s时，y=2cm²；当x=$\frac{9}{2}$s时，y=9cm²；
（2）当5≤x≤14时，求y与x之间的函数关系式；
（3）直接写出在整个运动过程中，使PQ与四边形ABCE的对角线平行的所有x的值．

Answer 1

分析 （1）当x=2s时，AP=2，BQ=2，利用三角形的面积公式直接可以求出y的值，当x=$\frac{9}{2}$s时，三角形PAQ的高就是4，底为4.5，由三角形的面积公式可以求出其解．
（2）当5≤x≤14 时，求y与x之间的函数关系式．要分为三种不同的情况进行表示：当5≤x≤9时，当9＜x≤13时，当13＜x≤14时．
（3）利用相似三角形的性质，相似三角形的对应线段成比例就可以求出对应的x的值．

解答 解：（1）当x=2s时，AP=2，BQ=2
∴y=2
当x=$\frac{9}{2}$s时，AP=4.5，Q点在EC上
∴y=9
故答案为：2；9
（2）当5≤x≤9时
y=S_梯形ABCQ-S_△ABP-S_△PCQ=$\frac{1}{2}$（5+x-4）×4-$\frac{1}{2}$×5（x-5-$\frac{1}{2}$（9-x）（x-4）
y=$\frac{1}{2}$x²-7x+$\frac{65}{2}$
当9＜x≤13
y=$\frac{1}{2}$（x-9+4）（14-x）
y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{19}{2}$x-35
当13＜x≤14时
y=$\frac{1}{2}$×8（14-x）
y=-4x+56；
（3）设运动时间为x秒，
当PQ∥AC时，BP=5-x，BQ=x，
此时△BPQ∽△BAC，
∴$\frac{BP}{AB}=\frac{BQ}{BC}$，
∴$\frac{5-x}{5}=\frac{x}{4}$，
解得x=$\frac{20}{9}$；
当PQ∥BE时，PC=9-x，QC=x-4，
此时△PCQ∽△BCE，
∴$\frac{PC}{BC}=\frac{CQ}{CE}$，
∴$\frac{9-x}{4}=\frac{x-4}{5}$，
解得x=$\frac{61}{9}$；
当PQ∥BE时，EP=14-x，EQ=x-9，
此时△PEQ∽△BAE，
∴$\frac{EP}{AB}=\frac{EQ}{AE}$，
∴$\frac{14-x}{5}=\frac{x-9}{4}$，
解得x=$\frac{101}{9}$．
由题意得x的值为：x=$\frac{20}{9}$、$\frac{61}{9}$或$\frac{101}{9}$．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了函数关系式表示变化过程中三角形的面积，相似三角形的性质和判定，梯形的面积，解本题的关键是分段．