Question

10．如图，将⊙O沿弦AB折叠得到$\widehat{AmB}$所在圆的切线交⊙O于点C，若⊙O的半径为1，当AC取最大值时，则弦AB的长是（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 如图，设$\widehat{AmB}$的圆心为O′，连接AO′，OO′交AB于F．只要证明△AOO′是等腰直角三角形即可解决问题．

解答 解：如图，设$\widehat{AmB}$的圆心为O′，连接AO′，OO′交AB于F．

∵当AC取最大值时，AC是⊙O的直径，
又∵AC是切线，
∴∠CAO′=90°，
∵OA=AO′，OO′⊥AB，
∴∠OAF=∠FAO′=45°，
∵OA=1，
∴AF=OA•cos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴AB=$\sqrt{2}$．
故选B．

点评 本题考查翻折变换、切线的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题，属于中考常考题型．