Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=8cm，CD=2cm，AD=6cm．点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向终点B运动；点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿CD、DA向终点A运动（P、Q两点中，有一个点运动到终点时，所有运动即终止）．设P、Q同时出发并运动了t秒．
（1）当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，求t的值；
（2）试问是否存在这样的t，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半？若存在，求出这样的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F，如图1．
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴四边形CDEF是矩形，
∴DE=CF．
又∵AD=BC，
∴Rt△ADE≌Rt△BCF，AE=BF．
又CD=2cm，AB=8cm，
∴EF=CD=2cm，
AE=BF=

1

2

（8-2）=3（cm）．
若四边形APQD是直角梯形，则四边形DEPQ为矩形．
∵CQ=t，
∴DQ=EP=2-t，
∵AP=AE+EP，
∴2t=3+2-t，
∴t=

5

3

．

（2）在Rt△ADE中，DE=

36-9

=3

3

（cm），
S_梯形ABCD=

1

2

（8+2）×3

3

=15

3

（cm²）．
当S_{四边形PBCQ}=

1

2

S_梯形ABCD时，
①如图2，若点Q在CD上，即0≤t＜2，
则CQ=t，BP=8-2t．
S_{四边形PBCQ}=

1

2

（t+8-2t）×3

3

=

15 3

2

，
解之得t=3（舍去）．
②如图3，若点Q在AD上，即2≤t＜4．
过点Q作HG⊥AB于G，交CD的延长线于H．
由图1知，sin∠ADE=AE：AD=

1

2

，
∴∠ADE=30°，
则∠A=60度．在Rt△AQG中，AQ=8-t，QG=AQ•sin60°=

3 (8-t)

2

，
在Rt△QDH中，∠QDH=60°，DQ=t-2，QH=DQ•sin60°=

3 (t-2)

2

．
由题意知，S_{四边形PBCQ}=S_△APQ+S_△CDQ=

1

2

×2t×

3 (8-t)

2

+

1

2

×2×

3 (t-2)

2

=

15 3

2

，
即t²-9t+17=0，解之得t1=

9+ 13

2

（不合题意，舍去），t2=

9- 13

2

．
答：存在t=

9- 13

2

，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半．