Question

20．如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1．tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax²+bx+c经过点A、B、C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，
①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似时，点P的坐标；
②是否存在一点P，使△PCD得面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由三角函数的定义可求得OB，再结合旋转可得到A、B、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）①△COD为直角三角形，可知当△CEF与△COD相似时有两种情况，即∠FEC=90°或∠EFC=90°，当PE⊥CE时，则可得抛物线的顶点满足条件，当PE⊥CD时，过P作PG⊥x轴于点G，可证△PGE∽△COD，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得P点坐标；②可求得直线CD的解析式，过P作PN⊥x轴于点N，交CD于点M，可用t表示出PM的长，当PM取最大值时，则△PCD的面积最大，可求得其最大值．

解答 解：
（1）∵OA=1．tan∠BAO=3，
∴$\frac{OB}{OA}$=3，解得OB=3，
又由旋转可得OB=OC=3，
∴A（1，0），B（0，3），C（-3，0），
设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，把A、B、C三点的坐标代入可得
$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=0}\\{9a-3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-x²-2x+3，
（2）①由（1）可知抛物线对称轴为x=-1，顶点坐标为（-1，4），
∵△COD为直角三角形，
∴当△CEF与△COD相似时有两种情况，即∠FEC=90°或∠EFC=90°，
若∠FEC=90°，则PE⊥CE，
∵对称轴与x轴垂直，
∴此时抛物线的顶点即为满足条件的P点，此时P点坐标为（-1，4）；
若∠EFC=90°，则PE⊥CD，
如图，过P作PG⊥x轴于点G，

则∠GPE+∠PEG=∠DCO+∠PEG，
∴∠GPE=∠OCD，且∠PGE=∠COD=90°，
∴△PGE∽△COD，
∴$\frac{PG}{OC}$=$\frac{GE}{OD}$，
∵E（-1，0），G（t，0），且P点横坐标为t，
∴GE=-1-t，PG=-t²-2t+3，
∴$\frac{-{t}^{2}-2t+3}{3}$=$\frac{-1-t}{1}$，解得t=-2或t=3，
∵P点在第二象限，
∴t＜0，即t=-2，
此时P点坐标为（-2，3），
综上可知满足条件的P点坐标为（-1，4）或（-2，3）；
②设直线CD解析式为y=kx+m，
把C、D两点坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{-3k+m=0}\\{m=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{3}}\\{m=1}\end{array}\right.$，
∴直线CD解析式为y=$\frac{1}{3}$x+1，
如图2，过P作PN⊥x轴，交x轴于点N，交直线CD于点M，

∵P点横坐标为t，
∴PN=-t²-2t+3，MN=$\frac{1}{3}$t+1，
∵P点在第二象限，
∴P点在M点上方，
∴PM=PN-MN=-t²-2t+3-（$\frac{1}{3}$t+1）=-t²-$\frac{7}{3}$t+2=-（t+$\frac{7}{6}$）²+$\frac{121}{36}$，
∴当t=-$\frac{7}{6}$时，PM有最大值，最大值为$\frac{121}{36}$，
∵S_△PCD=S_△PCM+S_△PDM=$\frac{1}{2}$PM•CN+$\frac{1}{2}$PM•NO=$\frac{1}{2}$PM•OC=$\frac{3}{2}$PM，
∴当PM有最大值时，△PCD的面积有最大值，
∴（S_△PCD）_max=$\frac{3}{2}$×$\frac{121}{36}$=$\frac{121}{24}$，
综上可知存在点P使△PCD的面积最大，△PCD的面积有最大值为$\frac{121}{24}$．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有三角函数的定义、旋转的性质、待定系数法、二次函数的最值、三角形相似的判定和性质及分类思想等．在（1）中求得C点的坐标是解题的关键，在（2）中注意P点的位置分两种情况，在（3）中注意利用二次函数求最值．本题考查知识点较多，综合性较强，难度很大．