Question

已知关于x的方程x²-（2k+1）x+4（k-

1

2

）=0，若等腰三角形ABC的一边长a=4，另一边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．

Answer 1

分析：先利用因式分解法求出两根，再根据a=4为底边，a=4为腰，分别确定b，c的值，进而求出三角形的周长即可．

解答：解：x²-（2k+1）x+4k-2=0，
整理得（x-2）[x-（2k-1）]=0，
∴x₁=2，x₂=2k-1，
当a=4为等腰△ABC的底边，则有b=c，
因为b、c恰是这个方程的两根，则2=2k-1，
解得k=1.5，
则三角形的三边长分别为：2，2，4，
∵2+2=4，这不满足三角形三边的关系，舍去；
当a=4为等腰△ABC的腰，
因为b、c恰是这个方程的两根，所以只能2k-1=4，
则三角形三边长分别为：2，4，4，
此时三角形的周长为2+4+4=10．
∴△ABC的周长为10．

点评：考查一元二次方程的应用；分类探讨a=4是等腰三角形的一边的情况是解决本题的难点．