Question

已知：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0），顶点C（1，-4），与x轴交于A、B两点，A（-1，0）。
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线的对称轴交于E，依次连接A、D、B、E，点Q为AB上一个动点（Q与A、B两点不重合），过点Q作QF⊥AE于F，QG⊥DB于G，请判断是否为定值，若是，请求出此定值，若不是，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若点H是线段EQ上一点，过点H作MN⊥EQ，MN分别与边AE、BE相交于M、N（M与A、E不重合，N与E、B不重合），请判断是否成立，若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由。

Answer 1

解：（1）设抛物线解析式为 
将A（-1，0）带入得 
∴
即；
（2）是定值1，
∵AB是直径
∴∠AEB=90°
∵QF⊥AE
∴QF∥BE
∴
同理可得 
∴
∴为固定值1；
（3）成立，
∵直线EC为抛物线对称轴
∴EC垂直平分AB
∴AE=EB
∴∠FAQ=45°
∴AF=FQ，
∵QF∥BE
∴
∴，
∵MN⊥EQ
∴∠QEF=∠MNE
又∵∠QFE=∠MEN=90°
∴△QEF≌△MNE
∴ 
∴
∴。