Question

（1）将1，2，3，4，…，2004这2004个数随意排成一行，得到一个数N，求证：N一定是合数．     
（2）若n是大于2的正整数，求证：2ⁿ-1与2ⁿ+1至多有一个是质数．                         
（3）求360的所有正约数的倒数和．

Answer 1

考点：质数与合数

专题：

分析：（1）将1到2004随意排成一行的数有很多，不可能一一排出，不妨能找出无论怎样排．所得数都有非1和本身的约数；
（2）只需说明2ⁿ-1与2ⁿ+1中必有一个是合数，不能同为质数即可；
（3）设正整数a的所有正约数之和为b，d₁、d₂、d₃、d₄…d_n为a的所有正约数从小到大的排列，再求出其倒数和的表达式，再把360化为2³×3²×5的形式，进而求出b的值即可得出答案．

解答：解：（1）从1到999来看这999个数，不管怎么排列，都可以把百位十位和各位的数，
按照九个九个的分组，个位上1到9，分到一组，十位上1到9分到一组，百位上1到9分一组，
都是刚好分成九个一组的，每组加起来都是45，
再有4+5=9，这999个数的各位数字的和能被9整除．
同理，从1000到1999，我们不看千位上的1，百位以后和上面分析的一样，每个数的每一位加起来最终能被9整除．
但是这里千位上多了1000个1，再看2000到2004这5个数，这5个数有5个2，
然后从0到4有5个数，我们可以不看0．
于是2+2+2+2+2+1+2+3+4=20，
加上1000到1999千位上的一千个1，就是1020，这个数可以也被3整除．
也就是说，1到2004，所有数字随便排在一起，每个位子上的数加起来的总和可以被3整除，
即含有3这个因数，故N一定是合数；

（2）假设2ⁿ-1与2ⁿ+1均是质数，则（2ⁿ-1）（2ⁿ+1）一定为合数，
即4ⁿ-1一定为合数，
当n=3时4ⁿ-1=63，而63是质数，假设不成立，
故2ⁿ-1与2ⁿ+1中至多有一个是质数．

（3）设正整数a的所有正约数之和为b，d₁、d₂、d₃、d₄…d_n为a的所有正约数从小到大的排列，
于是d₁、=1，d₂、d₃、d₄…d_n为a的所有正约数从小到大的排列，于是d₁=1，d_n=a，
由于S=

1

d1

+

1

d2

+

1

d3

+…+

1

dn

中各分数分母的最小公倍数为d_n=a，
故S=

dn

dn

+

dn-1

dn

+

dn-2

dn

+…+

d1

dn

=

d1+d2+d3+…+dn

dn

=

b

a

，
而a=360=2³×3²×5，
故b=（1+2+2²×2³）×（1+3+3²）×（1+5）=1170，
所以360的所有正约数的倒数和为：

1170

360

=3

1

4

．

点评：本题考查的是质数与合数、数的整除性问题，在解（2）时要熟知两个质数的积必为合数这一结论．