Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c经过原点，与轴相交于点E(8, 0 ), 抛物线的顶点A在第四象限，点A到x轴的距离AB=4，点P（m, 0）是线段OE上一动点，连结PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PC，过点C作y轴的平行线交x轴于点G，交抛物线于点D，连结BC和AD.

(1)求抛物线的解析式；

(2)求点C的坐标(用含m的代数式表示)；

(3)当以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标.

                       

Answer 1

（1）解：点E（8，0），AB⊥x轴，由抛物线的轴对称性可知B（4，0）点A（4，-4），抛物线经过点O（0，0），A（4,-4）、E（8,0）得，   

               

 解得          

                     

    ∴抛物线的解析式为

（2）解： ∵∠APC=90°∴∠APB+∠CPG=90°

∵AB⊥PE∴∠APB+∠PAB=90°

∴∠CPG=∠PAB 

∵∠ABP=∠PGC=90°，PC=PA

 ∴△ABP≌△PGC   

∴PB=CG，AB=PG=4                                            第26题 图1

∵P（m，0），OP=m ，且点P是线段OE上的动点

∴PB=CG=︱4-m︱， OG=︱m+4︱   

①     如图1，当点P在点B左边时，点C在x轴上方，

m＜4，4-m＞0，PB=CG=4-m

∴C（m+4，4-m）    

②如图2，当点P在点B右边时，点C在x轴下方，

m＞4，4-m＜0，

∴PB=︱4-m︱=-(4-m)=m-4

∴CG=m-4                                                    第26题 图2

∴C（m+4，4-m）    

综上所述，点C坐标是C（m+4，4-m）  

（3）解：如图1，当点P在OB上时

∵CD∥y轴，则CD⊥OE

∵点D在抛物线上，横坐标是m+4，将x= m+4代入得                                           

                     

化简得：       

∴D（m+4，）                    

∴CD=4-m-（）=

∵四边形ABCD是平行四边形                                第26题 图1

∴AB=CD=4，

∴=4        

解得,

∵点P在线段OE上，∴不符合题意，舍去

∴P（，0）           

如图2，当点P在线段BE上时，

∵C（m+4，4- m）             

∵点D在抛物线上，横坐标是m+4，将x= m+4代入得                                          

                                                        

化简得：           

∴D（m+4，）                        

∴ CD=             

∵四边形ABDC是平行四边形                                   第26题 图2

∴AB=CD=4，

∴

解得，

∵点P在线段OE上，∴不符合题意，舍去

 ∴P（，0）       

综上所述，当以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，点P的坐标为

P（，0）或P（，0）