Question

已知，如图所示抛物线与x的两个交点分别为A（1，0），B（3，0）。

（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P在该抛物线上滑动,且满足条件S_△PAB = 1这样的点P有几个?并求出所有点P 的坐标；
（3）设抛物线交y轴于点C，问该抛物线对称轴上是否存在点M，使得△MAC的周长最小．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）  


（2）如图，设P（x，y）

  
  

  

∴满足条件的点P坐标有三个：

（3）最小。
过点C作抛物线的对称轴的对称点C' 
 
 
  

（1）将A（1，0），B（3，0）代入抛物线中，列方程组可求抛物线解析式；
（2）由于AB=3-1=2，而S_PAB=1，故△PAB中，AB边上的高为1，即P点纵坐标为，代入抛物线解析式可求P点横坐标；
（3）过点C作抛物线的对称轴的对称点C'，根据抛物线的对称性求得C′（4，-3），连接直线AC′，求直线AC′的解析式，直线AC′与对称轴的交点即为所求点M．