【题目】如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=45°,点D是AC的中点,连接BD,作AE⊥BC于E,交BD于点F,点G是BC的中点,连接FG,过点B作BH⊥AB交FG的延长线于H.
(1)若AB=3,求AF的长;
(2)求证;BH+2CE=AB.
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】
(1)由条件得△ABE是等腰直角三角形,AE=3,可证△AEC≌△BEF,有EF=CE,根据等腰三角形的性质可知BD是AC的中垂线,连结CF,则AF=CF,设AF=x,EF=3-x,在Rt△EFC中,(3-x)2+(3-x)2=x2,解此方程即可;
(2)可先证△BGH≌△CGF,可得BH=CF=AF,由AE=BE=AF+EF,BE+CE=BC=AB,即可得证.
(1)连结CF,
∵AE⊥BC,∠ABC=45°,
∴AE=BE,AE=ABsin45°=,
∵AB=BC,点D是AC的中点,
∴∠ADB=∠BDC=90°,
∴AF=CF,∠CAE=∠DBC,
在△AEC和△BEF中,,
∴△AEC≌△BEF (AAS),
∴CE=EF,
设AF=x,EF=3-x,在Rt△EFC中,CE2+EF2=CF2,
∴(3-x)2+(3-x)2=x2,解得,x=,
(2)证明:∵BH⊥AB,∠ABC=45°,
∴∠HBG=45°,
由(1)知∠FCE=45°,
∴∠FCE=∠HBG,
∵点G是BC的中点,
∴BG=CG,
在△BGH和△CGF中,,
∴△BGH≌△CGF(ASA),
∴BH=CF,
∴AB=BE+CE=AE+CE=AF+EF+CE,
∴AB=BH+CE+CE=BH+2CE.
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【题目】把几个图形拼成一个新的图形,再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积,可以得到一个等式,也可以求出一些不规则图形的面积.
例如,由图1,可得等式:(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2
(1)如图2,将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形,试用不同的形式表示这个大正方形的面积,你能发现什么结论?请用等式表示出来.
(2)利用(1)中所得到的结论,解决下面的问题: 已知a+b+c=11,ab+bc+ac=38,求a2+b2+c2的值.
(3)如图3,将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起,B,C,G三点在同一直线上,连接BD和BF.若这两个正方形的边长满足a+b=10,ab=20,请求出阴影部分的面积.
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【题目】某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本,其中固定成本每年均为3万元,可变成本逐年增长,已知该养殖户第1年的可变成本为2.4万元,设可变成本平均每年增长的百分率为x.
(1)用含x的代数式表示第3年的可变成本为万元.
(2)如果该养殖户第3年的养殖成本为6.456万元,求可变成本平均每年增长的百分率?
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【题目】如图,△ABC中,AB=BC,CD⊥AB于点D,CD=BD,BE平分∠ABC,点H是BC边的中点,连接DH,交BE于点G.
(1)求证:△ADC≌△FDB;
(2)求证:CE=BF;
(3)连结CG,判断△ECG的形状,并说明理由.
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【题目】七年级320名学生参加安全知识竞赛活动,小明随机调查了部分学生的成绩(分数为整数),绘制了频率分布表和频数分布直方图(不完整),请结合图表信息回答下列问题:
成绩(分) | 频数 |
71≤x<76 | 2 |
76≤x<81 | 8 |
81≤x<86 | 12 |
86≤x<91 | 10 |
91≤x<96 | 6 |
96≤x<101 | 2 |
(1)补全频数直方图;
(2)小明调查的学生人数是_______;频率分布表的组距是_______;
(3)七年级参加本次竞赛活动,分数在
范围内的学生约有多少人.
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【题目】如图,边长为a的等边△ACB中,E是对称轴AD上一个动点,连EC,将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到MC,连DM,则在点E运动过程中,DM的最小值是。
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【题目】顶点都在格点上的三角形叫做格点三角形,如图,在4×4的方格纸中,△ABC是格点三角形.
(1)在图1中,以点C为对称中心,作出一个与△ABC成中心对称的格点三角形DEC,直接写出AB与DE的位置关系;
(2)在图2中,以AC所在的直线为对称轴,作出一个与△ABC成和对称的格点三角形AFC,直接写出△BCF是什么形状的特殊三角形.
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【题目】某商店销售两种商品,每件的售价分别为
元、
元,五一期间,该商店决定对这两种商品进行促销活动,如图所示,若小红打算到该商店购买
件
商品和
件
商品,根据以上信息,请:
(1)分别用含的代数式表示按照方案一和方案二所需的费用和
;
(2)就的不同取值,请说明选择那种方案购买更实惠(两种优惠方案不能同时享受)
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