Question

【题目】如图1，已知△ABC是边长为8的等边三角形，∠EBD＝30°，BE＝DE，连接AD，点F为AD的中点，连接EF．将△BDE绕点B顺时针旋转．

（1）如图2，当点E位于BC边上时，延长DE交AB于点G．

①求证：BG＝DE；

②若EF＝3，求BE的长；

（2）如图3，连接CF，在旋转过程中试探究线段CF与EF之间满足的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①见解析；②2；（2）EC＝EF，EC⊥EF，见解析

【解析】

（1）①想办法证明△BEG是等边三角形即可解决问题；②利用三角形的中位线定理求出AG，再求出BG即可解决问题．

（2）结论：EC＝EF，EC⊥EF．延长DF交CA的延长线于M，延长FE到K，使得EK＝EF，连接AK，CK，CF，在FM上截取FN＝DF，连接BN．证明图中，红色三角形全等，推出△CFK是等边三角形即可解决问题．

（1）①证明：如图2中，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC＝60°，

∵EB＝ED，

∴∠EBD＝∠EDB＝30°，

∴∠GBD＝∠ABC+∠EBD＝90°，

∴∠BGD＝60°，

∴△BEG是等边三角形，

∴BG＝BE，

∴BG＝ED．

②解：由①可知，BG＝GE＝BE＝DE，

又∵AF＝DF，

∴AG＝2EF＝6，

∵AB＝8，

∴BG＝AB﹣AG＝8﹣6＝2，

∴BE＝BG＝2．

（2）结论：EC＝EF，EC⊥EF．

理由：如图2中，延长DF交CA的延长线于M，延长FE到K，使得EK＝EF，连接AK，CK，CF，在FM上截取FN＝DF，连接BN．

∵FB＝FD＝FN，

∴∠DBN＝90°，

∵∠DBF＝30°，

∴∠FBN＝60°，

∴△FBN是等边三角形，

∴BN＝BF，

∵∠ABC＝∠NBF＝60°，

∴∠ABN＝∠CBF，

∵AB＝BC，

∴△ABN≌△CBF（SAS），

∴AN＝CF，

∵FN＝DF，AE＝ED，

∴EF∥AN，AN＝2EF，

∵2EF＝FK，

∴AN＝FK，AN∥FK，

∴四边形ANFK是平行四边形，

∴AK∥DM，AK＝FN＝BN，

∴∠CAK＝∠M，

∵∠AOM＝∠BON，∠OAM＝∠BNO＝120°，

∴∠M＝∠OBN，

∴∠ABN＝∠CAK，

∵AB＝AC，

∴△ABN≌△CAK（SAS），

∴AN＝CK，

∴CF＝CK＝FK，

∴△CFK是等边三角形，∠CFE＝60°

∵2EF＝FK，

∴CE⊥FK，

∵∠EFC＝60°，

∴tan∠CFE＝＝，

∴EC＝EF，EC⊥EF．