Question

2．如图，在矩形ABCD中，P是BC上一点，E是AB上一点，PD平分∠APC，PE⊥PD，连接DE交AP于F，在以下判断中，不正确的是（　　）

• A． 当P为BC中点，△APD是等边三角形
• B． 当△ADE∽△BPE时，P为BC中点
• C． 当AE=2BE时，AP⊥DE
• D． 当△APD是等边三角形时，BE+CD=DE

Answer 1

分析 A、先判断出△APB≌△DPC，进而可以得出∠APD=60°，即可得出结论；
B、虽然题目中有相似三角形和直角三角形，但没有告诉线段与线段之间的倍数关系和没出现含30°的直角三角形，所以没办法得出点P是BC的中点；
C、先求出∠BAP，进而得出∠ADE=∠PDE，即可判断出△ADE≌△PDE，最后用三角形三线合一的性质即可得出结论；
D、先求出∠BPE=∠APE=∠PAB=30°，再用含30°的直角三角形的性质和勾股定理即可得出结论．

解答 解：A、∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠A=∠B，
∵点P是BC的中点，
∴PB=PC，
在△APB和△DPC中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=DC}\\{∠ABP=∠DCP}\\{PB=PC}\end{array}\right.$，
∴△APB≌△DPC，
∴PA=PD，∠APB=∠DPC，
∵PD平分∠APC，
∴∠APD=∠CPD，
∴∠APB=∠APD=∠CPD，
∵∠APB+∠APD+∠CPD=180°，
∴∠APD=60°，
∵PA=PD，
∴△APD是等边三角形；
∴A正确，故A不符合题意；

C、∵PD⊥PE，
∴∠BPE+∠DPC=90°，∠APE+∠APD=90°，
∵∠APD=∠CPD，
∴∠APE=∠BPE，
∴$\frac{BP}{AP}=\frac{BE}{AE}$，
∵AE=2BE，
∴$\frac{BP}{AP}=\frac{1}{2}$，
在Rt△ABP中，sin∠BAP=$\frac{BP}{AP}=\frac{1}{2}$，
∴∠BAP=30°，
∴∠APB=60°，
∴∠BPE=∠APE=30°=∠BAP，
∴AE=PE，
∵EA⊥AD，EP⊥PD，
∴∠ADE=∠PDE，
在△ADE和△PDE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠PDE}\\{∠DAE=∠DPE}\\{AE=PE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△PDE，
∴∠AED=∠PED，
∵AE=PE，
∴DE⊥AP，
∴C正确，故C不符合题意；

D、∵△APD是等边三角形，
∴AP=DP，∠APD=60°，
∴∠CPD=60°，
∴∠APB=60°，
∴∠BPE=∠APE=∠PAB=30°
∴AE=PE
设BE=a，
在Rt△PBE中，BP=$\sqrt{3}$BE=$\sqrt{3}$a，PE=2a，
∴AE=2a，
∴CD=AB=BE+AE=3a，
易证△APB≌△DPC，
∴PB=PC，
∴AD=BC=2BP=2$\sqrt{3}$a，
在Rt△ADE中，根据勾股定理，得，DE=$\sqrt{A{E}^{2}+A{D}^{2}}$=4a，
∵BE+CD=a+3a=4a=DE，
∴D正确，故D不符合题意；
∴符合题意的只有B．
故选B．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，含30°的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解本题的关键：A、判断出△APB≌△DPC，C、求出∠BAP，D、求出∠BPE=∠APE=∠PAB=30°，是一道综合性比较强的题目．