Question

已知，如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD．
（1）求证：DB=DE；
（2）若点F是BE的中点，连接DF，且CF=2，求等边三角形△ABC的边长．

Answer 1

分析：求证BD=DE，可求解∠DBC=∠E，利用角相等，得出线段相等，对边长的求解，利用各个三角形角之间的关系，以及等边三角形的中线等进行求解．

解答：（1）证明：∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=∠ACB=60°
又∵BD是中线
∴BD平分∠ABC
∴∠DBC=

1

2

∠ABC=30°
∵CE=CD
∴∠E=∠CDE
又∵∠ACB=∠E+∠CDE
∴∠E=∠CDE=30°
∴∠DBC=∠E
∴DB=DE

（2）解：由（1）可知DB=DE
又∵点F是BE的中点
∴DF⊥BE
∵∠ACB=60°
∴∠CDF=180°-90°-60°=30°
又∵△CDF为直角三角形
∴CF=

1

2

CD，∴CD=4
∵BD是中线
∴AC=2CD=8
即等边三角形△ABC的边长为8．

点评：本题考查了等边三角形的性质；求得∠CDF=30°是正确解答本题的关键．