练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    平面直角坐标系xOy中，原点O是正三角形ABC外接圆的圆心，点A在y轴的正半轴上，△ABC的边长为6．以原点O为旋转中心将△ABC沿逆时针方向旋转α角，得到△A′B′C′，点A′、B′、C′分别为点A、B、C的对应点．
    （1）当α=60°时，
    ①请在图1中画出△A′B′C′；
    ②若AB分别与A′C′、A′B′交于点D、E，则DE的长为
    2
    2
    ；
    （2）如图2，当A′C′⊥AB时，A′B′分别与AB、BC交于点F、G，则点A′的坐标为
    （-
    		3
    ，3）
    （-
    		3
    ，3）
    ，△FBG的周长为
    6
    6
    ，△ABC与△A′B′C′重叠部分的面积为
    27-9
    		3
    27-9
    		3
    ．
    分析：（1）根据旋转的角度作出等边三角形后即可得到正确的图形；
    （2）利用旋转的性质、圆的对称性及垂径定理求得点A′的坐标，然后计算出三角形PGF的面积，用三角形ABC的面积减去3个三角形PGF的面积即可求得重叠部分的面积．
    解答：解：（1）①如图所示：

    ②根据题意得：△A′DE、△BEF、△B′FG、△CGH、△C′IH、△ADI均为等边三角形，
    ∴AD=DE=BE，
    ∴DE=
    1
    3
    AB=
    1
    3
    ×6=2，
    ∴DE的长为 2；  

    （2）∵A′C′⊥AB，
    ∴BC⊥A′B′，x轴⊥A′B′，
    ∵A′B′=6，
    ∴A′M=3，
    连接OA′，根据圆的对称性可知∠OA′M=30°，
    ∴OM=
    		3
    ，
    ∴点A′的坐标为（-
    		3
    ，3）；
    设A′B′与x轴交于点M，BC与y轴交于点N，
    在△BGF中，∵∠BGF=90°，∠B=60°，BG=BN-GN=3-
    		3
    ，
    ∴FG=
    		3
    BG=3
    		3
    -3，BF=2BG=6-2
    		3
    ，
    ∴△FBG的周长=BF+FG+BG=6-2
    		3
    +3
    		3
    -3+3-
    		3
    =6；
    在Rt△FBG中，∵∠B=60°，
    ∴设BG=x，则BF=2x，FG=
    		3
    x，
    ∴BG+BF+FG=3x+
    		3
    x=6，
    解得：BG=x=3-
    		3
    ，FG=
    		3
    x=3
    		3
    -3
    ∴S△BGF=
    1
    2
    BG•FG=
    1
    2
    ×（3-
    		3
    ）（3
    		3
    -3）=6
    		3
    -9，
    △ABC与△A'B'C'重叠部分的面积为S△ABC-3S△BGF=
    1
    2
    ×6×3
    		3
    -3（6
    		3
    -9）=27-9
    		3
    ．
    点评：本题考查了圆的综合知识，解题的过程中综合运用了旋转的性质、圆的对称性、垂径定理等知识，难度较大．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，已知在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=
    m
    x
    （m≠0）的图象相交于A、B两点，且点B的纵坐标为-
    1
    2
    ，过点A作AC⊥x轴于点C，AC=1，OC=2．
    求：（1）求反比例函数的解析式；
    （2）求一次函数的解析式．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    在平面直角坐标系xOy中，△AOB的位置如图所示，已知∠AOB=精英家教网90°，∠A=60°，点A的坐标为（-
    		3
    ，1）．
    求：（1）点B的坐标；
    （2）图象经过A、O、B三点的二次函数的解析式和这个函数图象的顶点坐标．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图（1），将Rt△AOB放置在平面直角坐标系xOy中，∠A=90°，∠AOB=60°，OB=2
    		3
    ，斜边OB在x轴的正半轴上，点A在第一象限，∠AOB的平分线OC交AB于C．动点P从点B出发沿折线BC-CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO-Oy以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动．
    （1）OC、BC的长；
    （2）设△CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式；
    （3）当P在OC上、Q在y轴上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．
    精英家教网

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知平面直角坐标系xOy中，点A（2，m），B（-3，n）为两动点，其中m＞1，连接O精英家教网A，OB，OA⊥OB，作BC⊥x轴于C点，AD⊥x轴于D点．
    （1）求证：mn=6；
    （2）当S△AOB=10时，抛物线经过A，B两点且以y轴为对称轴，求抛物线对应的二次函数的关系式；
    （3）在（2）的条件下，设直线AB交y轴于点F，过点F作直线l交抛物线于P，Q两点，问是否存在直线l，使S△POF：S△QOF=1：2？若存在，求出直线l对应的函数关系式；若不存在，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•河东区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形AOCD的顶点A的坐标是（0，4），现有两动点P、Q，点P从点O出发沿线段OC（不包括端点O，C）以每秒2个单位长度的速度，匀速向点C运动，点Q从点C出发沿线段CD（不包括端点C，D）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动．点P、Q同时出发，同时停止，设运动时间为t秒，当t=2秒时PQ=2
    		5
    ．
    （Ⅰ）求点D的坐标，并直接写出t的取值范围；
    （Ⅱ）连接AQ并延长交x轴于点E，把AE沿AD翻折交CD延长线于点F，连接EF，则△AEF的面积S是否随t的变化而变化？若变化，求出S与t的函数关系式；若不变化，求出S的值．
    （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，t为何值时，PQ∥AF？

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案