Question

△ABC中，∠C=90°，AB=1，tanA=

3

4

，过AB边上一点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，E、F是垂足，则EF的最小值等于

 

．

Answer 1

分析：根据已知求得AC，BC的长；根据勾股定理即可求得EF的最小值．

解答：解：方法1：△ABC中，∠C=90°，AB=1，tanA=

3

4

，
∴AC=

4

5

，BC=

3

5

．
设PE=x，则PF=

4

5

-

4

3

x．
EF²=PF²+PE²=x²+（

4

5

-

4

3

x）²
∴EF的最小值等于

12

25

．
方法2：可知四边形CEPF是矩形，故EF=CP
而只有当CP⊥AB时，CP才最小，
由AB=1，tanA=

3

4

，
∴AC=

4

5

，BC=

3

5

．
由面积法可求出此时CP长

1

2

AC•BC=

1

2

CP•AB
即

1

2

×

3

5

×

4

5

=

1

2

CP×1
∴CP=

12

25

．
则EF的最小值等于

12

25

．

点评：本题综合考查锐角三角函数的应用和勾股定理，以及利用配方法求二次函数的最小值，综合性较强．