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如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的半圆O交BC于点D,DE⊥AC,垂足为E.
(1)求证:点D是BC的中点;
(2)判断DE与⊙O的位置关系,并证明你的结论;
(3)如果⊙O的直径为9,cosB=,求DE的长.

(1)证明略
(2)相切
(3)1
(1)证明:连接AD
∵AB为半圆O的直径,
∴AD⊥BC
∵AB=AC
∴点D是BC的中点
(2)解:相切
连接OD
∵BD=CD,OA=OB,
∴OD∥AC
∵DE⊥AC
∴DE⊥OD
∴DE与⊙O相切
(3) ∵AB为半圆O的直径
∴∠ADB=900
在Rt△ADB中
∵cosB=
∴BD=3
∵CD=3
在Rt△ADB中
∴cosC=
∴CE=1
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