Question

5．如图，半圆O的直径AB=10，有一条定长为6的动弦CD在弧AB上滑动（点C、点D分别不与点A、点B重合），点E、F在AB上，EC⊥CD，FD⊥CD．
（1）求证：EO=OF；
（2）联结OC，如果△ECO中有一个内角等于45°，求线段EF的长；
（3）当动弦CD在弧AB上滑动时，设变量CE=x，四边形CDFE面积为S，周长为l，问：S与l是否分别随着x的变化而变化？试用所学的函数知识直接写出它们的函数解析式及函数定义域，以说明你的结论．

Answer 1

分析 （1）过点O作OH⊥CD于H，由垂径定理得出CH=DH，证得EC∥OH∥FD，即可得出结论；
（2）由勾股定理求出OH=$\sqrt{O{C}^{2}-C{H}^{2}}$═4，由平行线的性质得出∠ECO=∠COH≠45°；分两种情况讨论：
①当∠EOC=45°时，过点E作EM⊥OC于M，则△OEM是等腰直角三角形，得出EM=OM，证明△ECM∽△COH，得出EM：CM=CH：OH=3：4．设EM=3m，CM=4m．则OM=3m，EO=$\sqrt{2}$OM=3$\sqrt{2}$m，由CM+OM=OC，得出方程4m+3m=5，解方程得出m=$\frac{5}{7}$，即可得出EO=$\frac{15\sqrt{2}}{7}$，EF=2EO=$\frac{30\sqrt{2}}{7}$．
②当∠CEO=45°时，过点O作ON⊥EC于N；．在Rt△CON中，ON=CH=3，CN=OH=4．在Rt△EON中，EO=3$\sqrt{2}$．得出EF=2OE=6$\sqrt{2}$即可．
（3）证明OH是梯形EFDC的中位线，由梯形中位线定理得出EC+FD=2OH=8，由梯形面积公式得出S=$\frac{1}{2}$（EC+FD）•CD=OH•CD=244×6=24（0＜x＜8）；作FG⊥EC于G，则GC=FD=8-x，GF=CD=6，求出EG=EC-GC=2x-8，由勾股定理得出EF=$\sqrt{E{G}^{2}+F{G}^{2}}$=2$\sqrt{{x}^{2}-8x+25}$，得出四边形CDFE周长l=EF+EC+CD+FD=EF+2OH+CD=2$\sqrt{{x}^{2}-8x+25}$+14（0＜x＜8）．

解答 （1）证明：过点O作OH⊥CD于H，如图所示：
则CH=DH，
∵EC⊥CD，FD⊥CD，OH⊥CD，
∴EC∥OH∥FD，
∵CH=DH，
∴EO=FO；

（2）解：∵OH⊥CD，OC=$\frac{1}{2}$AB=5，
∴CH=$\frac{1}{2}$CD=3，
∴OH=$\sqrt{O{C}^{2}-C{H}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∵EC∥OH，
∴∠ECO=∠COH≠45°；
①当∠EOC=45°时，过点E作EM⊥OC于M，
则△OEM是等腰直角三角形，
∴EM=OM，
∵∠ECM=∠COH，∠CME=∠OHC=90°，
∴△ECM∽△COH，
∴EM：CM=CH：OH=3：4．
在Rt△ECM中，设EM=3m，CM=4m．则OM=3m，EO=$\sqrt{2}$OM=3$\sqrt{2}$m，
∵CM+OM=OC，
∴4m+3m=5，
解得：m=$\frac{5}{7}$，
∴EO=$\frac{15\sqrt{2}}{7}$，
EF=2EO=$\frac{30\sqrt{2}}{7}$．
②当∠CEO=45°时，过点O作ON⊥EC于N；．
在Rt△CON中，ON=CH=3，CN=OH=4．
在Rt△EON中，EO=3$\sqrt{2}$．
∴EF=2OE=6$\sqrt{2}$．
综上所述，线段EF的长等于$\frac{30\sqrt{2}}{7}$或6$\sqrt{2}$．

（3）解：四边形CDFE的面积S不随变量x的变化而变化，是一个不变量；
四边形CDFE的周长l随变量x的变化而变化．理由如下：
由①得：EO=FO，CH=DH，
∴OH是梯形EFDC的中位线，
∴EC+FD=2OH=8，
∴四边形CDFE面积为S=$\frac{1}{2}$（EC+FD）•CD=OH•CD=4×6=24（0＜x＜8）（是一个常值函数）；
作FG⊥EC于G，则GC=FD=8-x，GF=CD=6，
∴EG=EC-GC=x-（8-x）=2x-8，
∴EF=$\sqrt{E{G}^{2}+F{G}^{2}}$=$\sqrt{（2x-8）^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{{x}^{2}-8x+25}$，
∴四边形CDFE周长l=EF+EC+CD+FD=EF+2OH+CD=2$\sqrt{{x}^{2}-8x+25}$+14（0＜x＜8），
即l═2$\sqrt{{x}^{2}-8x+25}$+14（0＜x＜8）．

点评 本题是圆的综合题目，考查了垂径定理、勾股定理、平行线的性质、梯形中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、梯形面积的计算等知识；本题综合性强，有一定难度．