Question

如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，BD与CE相交于O．
（1）求证：BD=CE；
（2）OA平分∠BOE吗？说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据等边三角形的性质得到AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，则易得∠BAD=∠CAE，根据“SAS”有△BAD≌△CAE，利用全等三角形的性质即可得到结论；
（2）作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别是F、G，由△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质有AF=AG，再根据角平分线的判定定理即可得到OA平分∠BOE．

解答：（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，

AB=AC ∠BDA=∠CAE AD=AE

∴△BAD≌△CAE，
∴BD=CE；

（2）OA平分∠BOE．理由如下：
作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别是F、G，如图，
∵AF、AG恰好是两个全等三角形△BAD与△CAE对应边上的高，
∴AF=AG，
∴OA平分∠BOE．

点评：本题考查了等边三角形的性质：等边三角形三条边相等，三个角相等，都为60°；也考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的判定方法．