Question

阅读与探究：已知公式
（1）a₀+a₁+a₂+a₃+…a_n=______；
（2）当n=10时，，则a₁+a₃+a₅+a₇+a₉=______；
（3）在公式中，a₀+a_n=______．

Answer 1

解：（1）a₀+a₁+a₂+a₃+…a_n=0；
（2）当n=10时，a₁、a₃、a₅、a₇、a₉都是负的，所以a₁+a₃+a₅+a₇+a₉=-2^10-1=-2⁹；
（3）当n为奇数时，a₀，=-1，a_n=1，a₀+a_n=0；当n为偶数时，a₀，=1，a_n=1，a₀+a_n=2．
故答案为：（1）0；（2）-2⁹；（3）0或2．
分析：从最简单的分析，当n=1时，a₀=-1，a₁=1；当n=2时，a₀=1，a₁=-2，a₂=1；当n=3时，a₀=-1，a₁=-3，a₂=3，a₃=1；当n=4时，a₀=1，a₁，=-4，a₂，=6，a₃，=-4，a₄=1…从上面可以看出：
（1）无论n为任意自然数，a₀+a₁+a₂+a₃+…a_n=0；
（2）当n为奇数时，系数有n+1项是符号按-，+，…，-，+排列，当n为偶数时，系数有n+1项符号是按+，-，…，+，-，+排列，数值为对称型：1，…，1；都看做正的，其系数和为2ⁿ，奇数项系数和等于偶数项系数和=2^n-1；
（3）当n为奇数时，a₀，=-1，a_n=1；当n为偶数时，a₀，=1，a_n=1；有以上规律求解．
点评：此题从简单情形出发，找出规律，解决问题．