Question

【题目】已知如图，四边形ABCD为矩形，点O是AC的中点，过点O的一直线分别与AB、CD交于点E、F，连接BF交AC于点M，连接DE、BO，若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论：①FB⊥OC，OM＝CM；②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD是菱形；④MB：OE＝3：2，其中正确结论是_____．

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

①根据已知得出△OBF≌△CBF，可求得△OBF与△CBF关于直线BF对称，进而求得FB⊥OC，OM＝CM；

②因为△EOB≌△FOB≌△FCB，故△EOB不会全等于△CBM．

③先证得∠ABO＝∠OBF＝30°，再证得OE＝OF，进而证得OB⊥EF，因为BD、EF互相平分，即可证得四边形EBFD是菱形；

④根据三角函数求得MB＝，OF＝，根据OE＝OF即可求得MB：OE＝3：2．

解：连接BD，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AC＝BD，AC、BD互相平分，

∵O为AC中点，

∴BD也过O点，

∴OB＝OC，

∵∠COB＝60°，OB＝OC，

∴△OBC是等边三角形，

∴OB＝BC＝OC，∠OBC＝60°，

在△OBF与△CBF中

，

∴△OBF≌△CBF（SSS），

∴△OBF与△CBF关于直线BF对称，

∴FB⊥OC，OM＝CM；

∴①正确，

∵∠OBC＝60°，

∴∠ABO＝30°，

∵△OBF≌△CBF，

∴∠OBM＝∠CBM＝30°，

∴∠ABO＝∠OBF，

∵AB∥CD，

∴∠OCF＝∠OAE，

∵OA＝OC，

易证△AOE≌△COF，

∴OE＝OF，

∴OB⊥EF，

∴四边形EBFD是菱形，

∴③正确，

∵△EOB≌△FOB≌△FCB，

∴△EOB≌△CMB错误．

∴②错误，

∵∠OMB＝∠BOF＝90°，∠OBF＝30°，

∴MB＝，OF＝，

∵OE＝OF，

∴MB：OE＝3：2，

∴④正确；

故答案为：①③④