Question

7．如图，在平面直角坐标系中，A（-8，0），B（0，-8），D为直线AB上一点，且D点横坐标为-2，y轴上有一动点P，直线l经过D、P两点．
（1）求直线AB的表达式和D点坐标；
（2）当∠ADP=75°时，求点P坐标；
（3）在直线l上取点Q（Q点位于第一象限，且横、纵坐标之积恰为12），现过点Q作QM⊥y轴于M，QN⊥x轴于N．问：是否存在点P，使得直线DQ分长方形ONQM为两部分，其中所分成的三角形面积是△PDB面积的一半．若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据A（-8，0），B（0，-8），运用待定系数法求得直线AB的表达式，再根据D为直线AB上一点，且D点横坐标为-2，求得D点坐标；
（2）当∠ADP=75°时，过点D作DC⊥y轴于点C，根据条件求得∠CPD=30°，得出DP=2CD=4，再根据勾股定理得到CP=2$\sqrt{3}$，最后根据OP=OB-PC-BC=8-2$\sqrt{3}$-2=6-2$\sqrt{3}$，即可得出P（0，2$\sqrt{3}$-6）；
（3）存在点P（0，-4）或（0，$\sqrt{73}$-7）．需要分两种情况：①当直线l经过第一、三、四象限时，②当直线l经过第一、二、三象限时，分别根据待定系数法求得直线l表达式为y=$\frac{6}{m}$x+（$\frac{12}{m}-6$），轴对称直线l与坐标轴的交点坐标，最后根据所分成的三角形面积是△PDB面积的一半，列出方程进行计算即可得出m的值，进而得到P点坐标．

解答 解：（1）设直线AB解析式为y=kx+b，
把A（-8，0），B（0，-8）代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{0=-8k+b}\\{-8=b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-8}\end{array}\right.$，
∴直线AB的表达式为y=-x-8，
∵D为直线AB上一点，且D点横坐标为-2，
∴当x=-2时，y=2-8=-6，
∴D（-2，-6）；

（2）当∠ADP=75°时，如图1，过点D作DC⊥y轴于点C，
∵A（-8，0），B（0，-8），
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠DBC=45°，OB=8，
∴∠BDC=45°，
∴∠CDP=180°-∠ADP-∠BDC=180°-75°-45°=60°，CD=CB=2，
∴Rt△CDP中，∠CPD=30°，
∴DP=2CD=4，
∴CP=2$\sqrt{3}$，
∴OP=OB-PC-BC=8-2$\sqrt{3}$-2=6-2$\sqrt{3}$，
∵点P在y轴负半轴上，
∴P（0，2$\sqrt{3}$-6）；

（3）存在点P（0，-4）或（0，$\sqrt{73}$-7），使得直线DQ分长方形ONQM为两部分，其中所分成的三角形面积是△PDB面积的一半．
分两种情况：
①如图1所示，当直线l经过第一、三、四象限时，设l与x轴交于点E，
∵Q点位于第一象限，且横、纵坐标之积恰为12，
∴可设Q（m，$\frac{12}{m}$），
设直线l表达式为y=k'x+b'，
把D（-2，-6）和Q（m，$\frac{12}{m}$）代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{-6=-2k'+b'}\\{\frac{12}{m}=mk'+b'}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k'=\frac{6}{m}}\\{b'=\frac{12}{m}-6}\end{array}\right.$，
∴直线l表达式为y=$\frac{6}{m}$x+（$\frac{12}{m}-6$），
令x=0，则y=$\frac{12}{m}-6$，即P（0，$\frac{12}{m}-6$），此时BP=$\frac{12}{m}-6$-（-8）=$\frac{12}{m}$+2，
令y=0，则x=m-2，即E（m-2，0），此时NE=m-（m-2）=2，
∵△NQE面积是△PDB面积的一半，
∴$\frac{1}{2}$×NE×NQ=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$BP×DC，
∴$\frac{1}{2}$×2×$\frac{12}{m}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×（$\frac{12}{m}$+2）×2，
解得m=6，
∴P（0，-4）；

②如图2所示，当直线l经过第一、二、三象限时，
同理可得P（0，$\frac{12}{m}-6$），
此时BP=$\frac{12}{m}-6$-（-8）=$\frac{12}{m}$+2，MP=$\frac{12}{m}$-（$\frac{12}{m}-6$）=6，
∵△MQP面积是△PDB面积的一半，
∴$\frac{1}{2}$×MP×MQ=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$BP×DC，
∴$\frac{1}{2}$×6×m=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×（$\frac{12}{m}$+2）×2，
解得m=$\frac{1±\sqrt{73}}{6}$，
又∵m＞0，
∴m=$\frac{1+\sqrt{73}}{6}$，
∴$\frac{12}{m}-6$=$\sqrt{73}$-7，
∴P（0，$\sqrt{73}$-7）．

点评 本题属于一次函数综合题，主要考查了一次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，三角形的面积以及勾股定理的综合应用，解决第（3）问的关键是画出图形，运用分类思想和方程思想进行求解．