Question

【题目】如图，二次函数的图象经过点，直线与轴交于点为二次函数图象上任一点．

求这个二次函数的解析式；

若点在直线的上方，过分别作和轴的垂线，交直线于不同的两点(在的左侧)，求周长的最大值；

是否存在点使得是以为直角边的直角三角形？如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】；最大值为；存在，或或

【解析】

（1）如图1，运用待定系数法求这个二次函数的解析式；

（2）如图2，先求直线BC的解析式为y＝x﹣2，设出点E的坐标，写出点G的坐标（﹣m2+3m+8，﹣m2+m+2），求出EG的长，证明△EFG∽△DOB，根据相似三角形周长的比等于相似比表示△EFG周长＝（﹣m2+2m+8）＝ [﹣（m﹣1）2+9]，根据二次函数的顶点确定其最值；

（3）分二种情况讨论：分别以D、B两个顶点为直角时，列方程组，求出点E的坐标，根据两垂直直线的一次项系数为负倒数得出结论．

解：（1）如图1，把A（﹣1，0），B（4，0），C（﹣2，﹣3）代入y＝ax2+bx+c中，得：

，

解得：，

则二次函数的解析式y＝﹣x2+x+2；

（2）如图2，设直线BC的解析式为y＝kx+b，

把B（4，0），C（﹣2，﹣3）代入y＝kx+b中得：

，

解得：，

∴直线BC的解析式为y＝x﹣2，

设E（m，﹣m2+m+2），﹣2＜m＜4，

∵EG⊥y轴，

∴E和G的纵坐标相等，

∵点G在直线BC上，

当y＝﹣m2+m+2时，

﹣m2+m+2＝x﹣2，

解得：x＝﹣m2+3m+8，

则G（﹣m2+3m+8，﹣m2+m+2），

∴EG＝﹣m2+3m+8﹣m＝﹣m2+2m+8，

∵EG∥AB，

∴∠EGF＝∠OBD，

∵∠EFG＝∠BOD＝90°，

∴△EFG∽△DOB，

∴，

∵D（0，﹣2），B（4，0），

∴OB＝4，OD＝2，

∴BD＝＝2，

∴＝，

∴△EFG的周长＝（﹣m2+2m+8），

＝ [﹣（m﹣1）2+9]，

∴当m＝1时，△EFG周长最大，最大值是；

（3）存在点E，

分两种情况：

①若∠EBD＝90°，则BD⊥BE，如图3，

设BD的解析式为：y＝kx+b，

把B（4，0）、D（0，﹣2）代入得：

，

解得：，

∴BD的解析式为：y＝x﹣2，

∴设直线EB的解析式为：y＝﹣2x+b，

把B（4，0）代入得：b＝8，

∴直线EB的解析式为：y＝﹣2x+8，

∴，

﹣x2+x+2＝﹣2x+8，

解得：x1＝3，x2＝4（舍），

当x＝3时，y＝﹣2×3+8＝2，

∴E（3，2），

②当BD⊥DE时，即∠EDB＝90°，如图4，

同理得：DE的解析式为：y＝﹣2x+b，

把D（0，﹣2）代入得：b＝﹣2，

∴DE的解析式为：y＝﹣2x﹣2，

∴，

解得：或，

∴E（8，﹣18）或（﹣1，0），

综上所述，点E（3，2）或（8，﹣18）或（﹣1，0），

故存在满足条件的点E，点E的坐标为（3，2）或（﹣1，0）或（8，﹣18）．