Question

【题目】如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，△BOC≌△ADC，∠OCD=60°，连接OD．

（1）求证：△OCD是等边三角形．

（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状（按角分类），并说明理由．

（3）求∠OAD的度数．

（4）探究：当α=　 　时，△AOD是等腰三角形．（不必说明理由）

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）是直角三角形，理由见解析；（3）50°；（4）110°或125°或140°

【解析】

（1）根据全等三角形的性质得到OC=DC，根据等边三角形的判定定理证明即可；

（2）根据全等三角形的性质得到∠ADC=∠BOC=∠α=150°，结合图形计算即可；

（3）根据全等三角形的性质得到∠ADC=∠BOC=∠α，根据题意求出∠ADO、∠AOD，根据三角形内角和定理计算；

（4）分∠AOD=∠ADO、∠AOD=∠OAD、∠ADO=∠OAD三种情况，根据等腰三角形的判定定理计算即可．

解：（1）∵△BOC≌△ADC，

∴OC=DC．

∵∠OCD=60°，

∴△OCD是等边三角形；

（2）△AOD是Rt△．理由如下：

∵△OCD是等边三角形，∴∠ODC=60°，

∵△BOC≌△ADC，∠α=150°，

∴∠ADC=∠BOC=∠α=150°，

∴∠ADO=∠ADC﹣∠ODC=150°﹣60°=90°，

∴△AOD是直角三角形；

（3）由△BOC≌△ADC，得∠ADC=∠BOC=∠α．

∵△OCD是等边三角形，

∴∠ADO=α﹣60°，∠AOD=360°﹣110°﹣α﹣60°=190°﹣α，

∴∠OAD=180°﹣∠ADO﹣∠AOD=50°；

（4）①当∠AOD=∠ADO时，190°﹣α=α﹣60°，∴α=125°．

②当∠AOD=∠OAD时，190°﹣α=50°，∴α=140°．

③当∠ADO=∠OAD时，α﹣60°=50°，∴α=110°．

综上所述：当α=110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形，

故答案为：110°或125°或140°．